10、量之间的关系常用其联合分布律联合分布律和和 边缘分布律边缘分布律 二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量 1、定义、定义 2、联合分布律、联合分布律 设设( X ,Y )的所有可能的取值为的所有可能的取值为 则称则称 为二维随机变量为二维随机变量( X ,Y ) 的的联合分布律联合分布律或或联合联合 概率分布概率分布 ， 也简称 ， 也简称分布律分布律或或概率分布概率分布 , 2 , 1, jipyYxXP ijji , 2 , 1,),(jiyx ji ),(YX的的分分布布律律也也可可以以用用下下面面的的表表格格给给出出 。
ijjjj i i i pppy pppy pppy xxx Y X 。

11、 21 222122 121111 21 例例2把一枚均匀硬币抛掷三次 ， 设把一枚均匀硬币抛掷三次 ， 设X为三次为三次 抛掷中正面出现的次数抛掷中正面出现的次数， 而 ， 而 Y 为正面出现次数与为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值反面出现次数之差的绝对值 , 求求 (X ,Y) 的分布律的分布律 . 解解 ( X, Y ) 可取值可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3) PX=0, Y=3 PX=1, Y=1 PX=2, Y=1 PX=3, Y=0 Y X 13 01 8 3 80 0 1 2 3 3 80 01 8 2 311 221 2 311 222 3 1 2 。

12、 1 8. =3/8 =3/8 3 1 2 1 8 3、二维离散型随机变量的联合分布函数、二维离散型随机变量的联合分布函数 yx pyxF xxyy ij ij , ,),( 已知联合分布律可以求出其联合分布函数已知联合分布律可以求出其联合分布函数 反之 ， 已知分布函数也可以求出其联合分布律反之 ， 已知分布函数也可以求出其联合分布律 , 2 , 1, )0, 0(), 0( )0,(),(, ji yxFyxF yxFyxFyYxXP jiji jijiji 例例3 把三个球等可能地放入编号为把三个球等可能地放入编号为1 ， 2 ， 3 的的 三个盒子中 ， 每盒容纳的球数无限三个盒子中 ， 每盒容纳的球数无限. 。

13、 记记 X 为落入为落入 1 号盒的球数 ， 号盒的球数 ， Y 为落入为落入 2 号盒的号盒的 球数 ， 求：球数 ， 求： 1） ( X , Y ) 的联合分布律；的联合分布律； 2） F (x, y) 解解 联合分布律的求法：利用乘法公式联合分布律的求法：利用乘法公式 , ijiji xXyYPxXPyYxXP jij yYxXPyYP 或或 常用列表的方法给出常用列表的方法给出 1) 本例中 ， 本例中 ，,iXjYPiXPjYiXP jij j i ii i CC 3 3 3 3 2 1 1 2 1 3 2 3 1 ;
3 , 2 , 1 , 0;
3 , 0iij 其联合分布律如下表所示：其联合分布律如 。

14、下表所示： X Y 0 1 2 3 0 1 2 3 27 1 27 1 9 1 9 1 27 1 0 0 0 9 1 9 1 0 0 9 1 9 1 9 2 0 2) 要求要求F (x,y) ， 先将先将( X ,Y )的可能取值画在的可能取值画在 xoy 平面上 ， 对于不同位置的平面上 ， 对于不同位置的(x,y)求求F (x,y): x y 0, x 0 或或 y 0, 1/27, 0 x 1, 0 y 1, 4/27, 0 x 1, 1 y 2, 7/27, 0 x 1, 2 y 3, 8/27, 0 x 1, y 3, 4/27, 1 x 2, 0 y 1, 13/27, 1 x 2, 1 y。

15、2, 19/27, 1 x 2, 2 y 3, 20/27, 1 x 2, y 3, F(x,y) = 8/27, x 3, 0 y 1, 20/27, x 3, 1 y 2, 26/27, x 3, 2 y 3, 1, x 3, y 3 7/27, 2 x 3, 0 y 1, 19/27, 2 x 3, 1 y 2, 25/27, 2 x 3, 2 y 3, 26/27, 2 x 3, y 3, 三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量 设二维随机变量设二维随机变量( X ,Y )的分布函数为的分布函数为 F(x ,y ),若存在非负可积函数若存在非负可积函数 f (x,y) , 使得对 。

16、于任意实数使得对于任意实数 x,y 有有 yx dudvvufyxF),(),( 则称则称( X ,Y ) 为为二维连续型随机变量二维连续型随机变量 ，f (x,y) 为为( X ,Y ) 的的联合概率密度联合概率密度 简称为简称为概率密度概率密度或或联合密度联合密度 1、定义、定义 2、联合概率密度函数的性质、联合概率密度函数的性质 除了分布函数的一般性质外还有下述性质除了分布函数的一般性质外还有下述性质 ),( 2 yxf yx F yxyxfyyYyxxXxP ),(, f (x,y) 反映了反映了( X ,Y ) 在在(x,y) 附近单位面积的附近单位面积的 区域内取值的概率区域内取值 。

17、的概率 0),(1 yxf、非负性：、非负性： 1),(2 dxdyyxf、规范性：、规范性： 3、对每个变元连续 ， 在联合密度的连续点处、对每个变元连续 ， 在联合密度的连续点处 P X = a ,- Y + = 0 P- X + , Y= a = 0 G dxdyyxfGYXP),(),( 若若G 是平面上的区域 ， 则是平面上的区域 ， 则 4、P X = a ,Y = b = 0 例例4 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量( X ,Y ) 的联合密度为的联合密度为 其他, 0 , 10 ,0, ),( yyxkxy yxf 其中其中k 为常数为常数. 求求 2）P X + Y 1 , P X。

18、0.5;
1）常数）常数 k ;
3）联合分布函数联合分布函数 F (x,y);
y = x 1 0 x y 10,0),( yyxyxD解解 令令 D (1)1),( dxdyyxf 1),( D dxdyyxf 1 0 2 1 00 82 k dy y yk kxydxdy y 8 k y = x 1 0 x y (2) 1 YXP 0.5 x+y=1 y = x 1 0 x y 1 5 . 01 8 y y xydxdy 6 5 y = x 1 0 x y 0.5 5 . 0 XP 5 . 0 0 1 8 x xydydx 16 7 当当 0 x 1 0 y x 时 ， 时 ，1 (3) y 。

稿源：(未知)

【傻大方】网址：/a/2021/0819/0023819072.html

标题：第八|第八讲(二维随机变量的分布)( 二 )