1、立体几何中二面角的平面角的定位空间图形的位置关系是立体几何的重要内容 ， 解决立体几何问题的关键在于三定：定性分析定位作图定量计算 ， 其中定性是定位、定量的基础 ， 而宣则是定位、定性的深化 ， 在面面关系中 ， 二面角是其中的重要概念之一 ， 它的度量归结为平面上角的度量 ， 一般来说 ， 对其平面角的定位是问题解决的先决一步 ， 可是 ， 从以往的教学中发现 ， 学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱 ， 甚至错误地定其位 ， 使问题的解决徒劳无益 ， 本文就是针对这一点 ， 来谈一谈平日教学中体会 。
一、 重温二面角的平面角的定义 如图（1） ， 、是由出发的两个平面,O是上任意一点,OC， 且OC；CD， 且OD 。
这就是二面角的平面角的背 。

2、景 ， 即COD是二面角的平面角 ， 从中不难得到下列特征： 、过棱上任意一点 ， 其平面角是唯一的； 、其平面角所在平面与其两个半平面均垂直； 另外 ， 如果在OC上任取上一点A ， 作ABOD垂足为B,那么 由特征可知AB.突出、OC、OD、AB ， 这便是另一特征； 、体现出一完整的垂线定理（或逆定理）的环境背景 。
对以上特征进行剖析 由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成 ， 所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线（面）”的问题 。
特征表明 ， 其平面角的定位可先在棱上取一“点” ， 耐人寻味的是这一点可以随便取 ， 但又总是不随便取定的 ， 它必须与问题背景相互沟通 ， 给计算提供方便 。
例1 已知正三棱锥VABC侧棱 。

3、长为a ， 高为b ， 求侧面与底面所成的角的大小 。
由于正三棱锥的顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心 ， 所以连结CH交AB于O ， 且OCAB ， 则VOC为侧面与底面所成二面角的平面角如图（2） 。
正因为正三棱锥的特性 ， 解决此问题 ， 可以取AB的中点O为其平面角的顶点 ， 而且使背景突出在面VOC上 ， 给进一步定量创造得天独厚的条件 。
特征指出 ， 如果二面角的棱垂直某一平面与 、的交线 ， 而交线所成的角就是的平面角 ， 如图 。
由此可见 ， 二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面” 。
例2 矩形ABCD ， AB=3 ， BC=4 ， 沿对角线BD把ABD折起 ，使点A在平面BCD上的射影A落在BC上 ， 求二面角ABC-C的大小 。
这是 。

4、一道由平面图形折叠成立体图形的问题 ， 解决问题的关键在 于搞清折叠前后“变”与“不变” 。
结果在平面图形中过A作AEBD交BD于O、交BC于E ， 则折叠后OA、OE与BD的垂直关系不变 。
但OA与OE此时变成相交两线段并确定一平面 ， 此平面必与棱垂直 。
由特征可知 ， 面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角 ， 即为所求二面角的平面角 。
另外 ， A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上 ， 又题设射影落在BC上,所以E点就是A ， 这样的定位给下面的定量提供了优质服务 。
事实上 ， AO=ABAD/BD=3*4/5=12/5 ， OA=OE=BOtgcCBD ， 而BO=AB2/BD=9/5, tgCBD ， 故OA=27/20 。

5、 。
在RtAAO中 ， AAO=90所以cosAOA=AO/AO=9/16 ， tyAOA=arccos9/16即所求的二面arccos9/16 。
通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算 ， 特征从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角 ， 我们可以把构成二面角的两个半平面”摆平” ， 然后 ， 在棱上选取一适当的垂线段 ， 即可确定其平面角 。
“平面图形”与“立体图形”相映生辉 ， 不仅便于定性、定位 ， 更利于定量 。
特征显示 ， 如果二面角的两个半平面之一 ， 存在垂线段AB ， 那么过垂足B作的垂线交于O ， 连结AO ， 由三垂线定理可知OA；或者由A作的垂线交于O ， 连结OB ， 由三垂线定理逆定理可知OB ， 此时 ， AOB就是二面角的平面角 ， 如图 。

6、 。
由此可见 ， 地面角的平面角的定位可以找“垂线段” 。
例3 在正方体ABCDA1B1C1D1中 ， 棱长为2 ， E为BC的中点 。
求面B1D1E与面积BB1C1C所成的二面角的大小 。
例3的环境背景表明 ， 面B1D1E与面BB1C1C构成两个二面角 ，由特征可知 ， 这两个二面角的大小必定互补 ， 下面 ， 如 果思维由特征监控,背景中的线段C1D1会使眼睛一亮,我们只须由C1(或D1)作B1E的垂线交B1E于O,然后连结OD1(或OC1),即得面D1BE与面CC1B1E所成二面角的平面角C1OD1 ， 如图 ， 计算可得C1O=4*51/2/5 。
在RtD1C1O中 ， tgC1OD=D1C1/C1O=51/2/2 。
故所求 。

7、的二面角角为arctg51/2/2或-arctg=51/2/2 三、三个特征的关系 以上三个特征提供的思路在解决具体总是时各具特色 ， 其标的是 分别找“点”、“垂面”、“垂线段” 。

稿源：(未知)

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标题：立体几何|立体几何中二面角的平面角的定位