1、全等三角形之手拉手模型与半角模型目 录1 手拉手模型21.1 定义21.2 任意等腰三角形下的手拉手模型31.3 等边三角形下的手拉手模型51.4 等腰直角三角形下的手拉手模型51.5 例题72 半角模型102.1 定义102.2 半角模型解题思路112.3 半角模型1（等边三角形内含半角）解题方法112.4 半角模型2（等腰直角三角形内含半角）解题方法132.5 半角模型3（正方形内含半角）解题方法142.6 例题151 手拉手模型1.1 定义如上图所示 ， 手拉手模型是指有公共顶点（A）、顶角相等（）的两个等腰三角形（ABE ， AB=AE；ACD ， AC=AD） ， 底边端点相互连接形成的全等三角形模 。

2、型（ABDAEC） 。
因为顶角相连的四条边（腰）可形象地看成两双手 ， 所以通常称为手拉手模型 。
说明：左、右手的定义将等腰三角形顶角顶点朝上 ， 正对我们 ， 我们左边为左手 ， 右边为右手 。
拉手的方式：左手拉左手 ， 右手拉右手 。
构成手拉手模型的3个条件：1. 两个等腰三角形2. 有公共顶点3. 顶角相等全等三角形的构成方式：由“顶点+双方各一只手”构成：“顶点+左手+左手” ， “顶点+右手+右手” 。
搞清这一点 ， 有助于我们快速找到全等三角形 。
等腰三角形的底边（BE、CD）不是必须的 ， 可以不连接 ， 所以图中用虚线表示 。
这就是为什么做题时发现有时并不存在等腰三角形却仍然用手拉手模型的原因 。
1.2 任意等腰三角形下的手拉手 。

3、模型下面 ， 将给出一些重要结论 ， 熟悉这些结论有助于我们快速解题 。
需要强调的是 ， 这些结论不能直接用 ， 需要证明 ， 所以要记住以下每个结论的证明 。
结论1：ABDAEC说明：这里的全等三角形的构成方式为“顶点+双方各一只手”构成 。
证明：（等角+公共角相等）在ABD和AEC中ABDAEC（SAS）结论2：BD=EC（左手拉左手等于右手拉右手）证明：ABDAECBD=EC结论3： +BOC=180说明：BOC是手拉手形成的角 ， 我们称O为“手拉手交点” 。
证明：ABDAECADB=ACE又APC=OPD（对顶角相等）COD=180-OPD-ADB（三角形内角和）CAD=180-APC -ACE（三角形内角和）CO 。

4、D=CAD= +BOC=180结论4：OA平分BOC证明：如图 ， 连接AO ， 过点A做AMBD于M ， ANCE于NABDAECBD = EC ， SABDSAEC 1 2BDAM = 1 2ECAN AM =AN（AM、AN 分别是BD、EC 边上的高 ， 全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等） OA平分BOC（角平分线的判定）1.3 等边三角形下的手拉手模型等边三角形是等腰三角的一种特例 ， 自然也有相应的手拉手模型 ， 具有任意等腰三角形下的手拉手模型的结论1结论4 。
但由于等边三角形更特殊 ， 所有还有新的结论5 。
图1 等边三角形下的手拉手模型结论1：ABDAEC略（同1.2 ） 。
结论2：BD=E 。

5、C（左手拉左手等于右手拉右手）略（同1.2 ） 。
结论3： +BOC=180略（同1.2 ） 。
结论4：OA平分BOC略（同1.2 ） 。
结论5：BOE=COD = =60说明：BOE、COD是等边三角形底边与“交点”形成的角 。
证明： +BOC=180BOE=180-BOC=60BOE=60COD =BOE=60（对顶角相等）1.4 等腰直角三角形下的手拉手模型同样道理 ， 等腰直角三角形也是等腰三角的一种特例 ， 自然也有相应的手拉手模型 ， 具有任意等腰三角形下的手拉手模型的结论1结论4 。
但由于等腰直角三角形更特殊 ， 所有还有新的结论5 。
图2 等腰直角三角形下的手拉手模型1在1.1 手拉手模型定义一节中指出： 。

6、“等腰三角形的底边（BE、CD）不是必须的 ， 可以不连接 ， 所以图中用虚线表示 。
这就是为什么做题时发现有时并不存在等腰三角形却仍然用手拉手模型的原因” 。
下图就是这样一种情况（图中正方形ABFE、正方形ACGD） ， 称为等腰直角三角形下的手拉手模型2 ， 这个模型考题中也比较常见 。
图3 等腰直角三角形下的手拉手模型2结论1：ABDAEC略（同1.2 ） 。
结论2：BD=EC（左手拉左手等于右手拉右手）略（同1.2 ） 。
结论3： +BOC=180略（同1.2 ） 。
结论4：OA平分BOC略（同1.2 ） 。
结论5：BOE=COD = =90（等边三角形底边与“交点”形成的角）证明： +BOC=180BOE=180 。

7、-BOC=90BOE=90COD =BOE=90（对顶角相等）1.5 例题手拉手模型题型是一种常见的题型 ， 但考试时不会告诉我们是手拉手题型 ， 因此首选需要我们识别出是手拉手模型题型 ， 然后再利用手拉手题型的几个结论进行求解 。
熟悉手拉手模型的几个结论以及证明方法可以高效解题 。
例：如图1 ， ABC和CDE为等边三角形图1 图2（1）求证：BD=AE；（2）若等边CDE绕点C旋转到BC、EC在一条直线上时 ， （1）中结论还成立吗？请给予证明；（3）旋转到如图2位置时 ， 若F为BD中点 ， G为AE中点 ， 连接FG ， 求证：CFG为等边三角形；FGBC分析：识别出手拉手模型是解题的关键 ， 而（1）问就是证明“结论2：BD 。

稿源：(未知)

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标题：全等|全等三角形之手拉手模型与半角模型