亚洲第一位菲尔兹奖得主小平邦彦的数学世界( 二 ) _菲尔兹奖

▌数学的唯一理解方法
即使不做研究，只是阅读有关数学的书和论文，也非常费时。如果只读定理部分而跳过证明过程的话，似乎很快就能读完两三本书。但是实际上，跳过证明的阅读方式如浮光掠影，留下的印象非常浅，结果多会一无所得。想要理解数学书，只能一步一步遵循证明过程。数学的证明不是单纯的论证，还具有思考实验的意味。
所谓理解证明，也不是确认论证中是否有错误，而是自己尝试重现思考实验的过程。换言之，理解也可以说是自身的体验。不可思议的是，除此之外数学没有其他的理解方法。物理学的话，即便是最新的基本粒子理论，只要阅读通俗读物，尽管读者与专家的理解方法不同，多少还是能大致理解或者至少自己觉得好像理解了。这就是外行人的理解方法，它与专家的理解方法不同。但是数学不存在外行人的理解方法，所以没人可以写出关于数学最近成果的通俗读物。
▌“丰富的”理论体系
现在数学的理论体系，一般是从公理体系出发，依次证明定理。公理系统仅仅是假定，只要不包含矛盾就行。数学家当然具有选取任何公理系统的自由。但是实际上，公理系统如果不能以丰富的理论体系为出发点，便毫无用处。公理系统不仅不包含矛盾，而且还必须是丰富的。考虑到这点，公理系统的自由选择范围就非常有限。在说明这个问题时，假设把数学的理论体系比作游戏，那么公理系统就相当于游戏规则。
公理系统越丰富意味着游戏越有趣。例如在围棋盘上布子的棋类游戏，现在我们熟知共有四种类型：围棋、五子棋和两种朝鲜围棋。换言之，此刻我们所熟知的公理系统只有四种。除这四种以外，还有没有其他有趣的游戏呢？例如四子棋、六子棋或者更普遍化的n 子棋又会是如何呢？其实下 n 子棋，当 n 小于 4 时先手必胜，即刻分出胜负，所以索然无味；而当 n 大于 6 时，则永远分不出胜负，也毫无趣味。发现新的有趣游戏并不容易。
当然这只是我个人的想法，不过现在大概不太能再发现一个与围棋趣味相当的游戏了。数学也是同理，发现丰富的公理系统也极其困难，因此实际上根本不存在公理系统的选择自由。
▌理论中丰富的普遍化
数学家通常本能地偏爱“普遍化” 。例如假设存在一个基于公理系统 A 的丰富的理论体系 S，那么下面的情况是很容易想到的，从 A 中去掉若干公理得到公理系统　B，再从 B 出发将 S “普遍化”，得到普遍性理论体系 T 。稍加思索就觉得 T 是比 S 更丰富的体系，因为 T 是 S 的“普遍化”结果，但是在大多数情况下，实际尝试“普遍化”后会发现，T 的内容与预想相反，多是贫瘠不堪，令人失望。此时，与其说 T 是 S 的“普遍化”，还不如说是 S 的“稀疏化” 。当然，并不是所有的“普遍化”都等同于“稀疏化”，数学自古以来都是通过“普遍化”而发展起来的。不过不得不说的是，近来的理论“普遍化”不断落入“稀疏化”的怪圈之中。
那么，能发展成为丰富理论的“普遍性”，其特征是什么呢？进一步说，作为丰富理论体系出发点的公理系统，其特征又是什么？现代数学对上述问题都不感兴趣。例如群论显然是比格论更为丰富的体系，但是比起格的公理系统，群的公理系统的优势是什么呢？此外，拓扑学、代数几何、多变量函数论等基本层的理论出发点（看起来似乎）都是不值一提的“普遍化”理论，即用函数替换以前的常数作为上同调群的系数。为什么说这实际上是非常丰富的“普遍化”呢？与此相反，连续几何被视为射影几何令人惊叹的“普遍化”，但为什么其发展停滞不前呢？将数学作为一种现象直接观察时，会发现这类问题不胜枚举。
这些问题都是完全没有价值的愚蠢问题吗？抑或能否建立一门以回答此类问题为目标、研究数学现象的学科，即数学现象学呢？这些问题，我也不清楚。不过我确信，如果能够建立这门学科，那它一定会非常有趣。不过从一开始会有一个明显的难题，那就是在开始研究数学的现象学前，首先必须对数学的主要领域有一个全面的、大概的了解。正如我在上文中提到的，解决这个难题需要花费大量的时间。这也是无法撰写数学现代史的原因所在。
以上就是一些有关小平邦彦先生的简单介绍。小平先生一生都在谦逊平和中坚持着自己所爱之事。他又是怎样看待他数学的一生呢？他对日本的数学发展又有怎么样的见解？而这些见解在当今的我国又是否适用呢？推荐给大家两本小平邦彦先生的新书《惰者集》和《几何世界的邀请》，一起走近小平先生的数学世界。