来来来，做一个黎曼重排定理的实验 _黎曼

今天的主题是黎曼重排定理。定理断言， “条件收敛的实数项级数通过重排可以收敛到任意实数” 。我们接下来将要对此详细说明，暂时看不懂这个定理的人也请放心。
无穷级数绝对收敛是指，级数各项取绝对值也收敛。
就像“绝对收敛”这个名称的字面意思那样。
相对地，条件收敛是指无穷级数收敛但不是绝对收敛。
比如，平方数的倒数之和是绝对收敛。

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自然数的倒数的交错级数是条件收敛。

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也许会有人提出疑问“为什么要关心绝对收敛和条件收敛呢？” ，这是有原因的。
绝对收敛级数，不论哪种求和顺序都收敛到同一个值。总之，不需要关心求和顺序。
另一方面，对于条件收敛级数，收敛的值随着求和顺序而改变。条件收敛也太顽皮了呢。
例如，式（2）的级数收敛到log2 ，我们改变求和顺序如下：

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求和收敛到 3log2/2 。（计算过程请自行确认即可）
更有趣的是，根据本文开头提到的黎曼重排定理，对于条件收敛级数，通过改变求和顺序，可以使级数收敛到任意实数。

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不管怎么说， “任意的实数”给人很不显然的感觉呢。
定理的完整内容和证明，参见网上的其他。
总之定理是可以证明的。在这里没有详细证明，会让人迷迷糊糊摸不着头脑，感觉好像很难的样子。
想要好好的理解定理，试着去看前面提到的证明，是可以比预想中更清晰地理解的。而且，如果仔细地阅读证明，就会注意到证明之中包含了让级数收敛到任意实数的方法。
不管怎么说，我们能让级数收敛到喜欢的实数值，这应该是很有趣的！
前面的引子说了这么长，今天的文章要介绍的是让条件收敛级数收敛到期望实数的步骤。
让级数收敛到期望实数的步骤
（需要准备的东西）
1、条件收敛级数（1个）：

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这里的a_n全部为实数
2、想要收敛到的实数（你喜欢的数都可以）：r
（步骤）
①将原级数数列分为“正项组成的数列”和“负项组成的数列” 。※由于假定原级数为条件收敛，因此我们知道划分出来的两个级数都发散。
②只使用“正项组成的数列”的项求和，使得部分和恰好大于要收敛到的实数。※因为正项组成的级数是发散级数，对于任意实数，存在有限部分和大于这个实数。
③只使用“负项组成的数列”的项求和，使得部分和恰好小于要收敛到的实数。
④使用“正项组成的数列”余下的项求和，使得部分和再一次恰好大于要收敛到的实数。
⑤使用“负项组成的数列”余下的项求和，使得部分和再一次恰好小于要收敛到的实数。
⑥接下来重复步骤④和⑤
仅此而已。
通过以上步骤，级数确实收敛到指定的实数。（详细证明请参照相关资料）
让交错级数收敛到期望的实数
接下来我们试着具体实行上面的步骤。
实验对象当然是交错级数了：

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作为具体的例子，我们试着改变求和顺序使级数收敛到r=2 。
①把级数数列划分为“正项组成的数列”

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和“负项组成的数列”

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②使用“正项组成的数列”的项求和，使得部分和恰好大于r=2 。实际上计算到1/15 ，部分和大于2：