透过60个公式体验数学之美( 三 ) _公式

27. 黎曼ζ函数的欧拉乘积形式

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欧拉在1737年发现了欧拉乘积公式，这是ζ函数与素数的联系的朦胧征兆。
28. 最小的勾股数

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勾股数的发现时间较早，例如埃及的纸草书里面就有 (3,4,5) 这一组勾股数，而巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是 (13500,12709,18541) 。在中国，《周髀算经》中也记述了 (3,4,5) 这一组勾股数。
29. 柯西积分公式

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柯西积分公式是数学中复分析的一个重要结论，以十九世纪法国数学家奥古斯丁·路易·柯西命名。柯西积分公式说明了任何一个闭合区域上的全纯函数在区域内部的值完全取决于它在区域边界上的值，并且给出了区域内每一点的任意阶导数的积分计算方式。
30. π 的莱布尼茨公式表示

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π 的莱布尼茨公式右边的展式是一个无穷级数，被称为莱布尼茨级数，这个级数收敛到 π/4 。使用求和符号可记作下式：

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31. 巴塞尔问题

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巴塞尔问题是一个著名的数论问题，要求的是精确计算所有平方数的倒数之和。该问题最初由皮耶特罗·门戈利在1644年提出，由莱昂哈德·欧拉在1735年解决。由于这个问题之前难倒了以前许多的数学家，所以年仅 28 岁的欧拉一解出这个问题立马扬名于天下。
32. 等比数列和

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一个等比数列的首 n 项之和，称为等比数列和（sum of geometric sequence）或几何级数（geometric series），记作 Sn$ 。
等比数列求和的公式如下：

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当 -1 < r <1 时，几何级数会收敛到一个如上式的固定值。
33. 伯克霍夫遍历定理

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伯克霍夫遍历定理(Birkhoff ergodic theorem)是遍历论的第一个重要结果。
34. 斯托克斯定理

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斯托克斯定理(Stokes' theorem)是微分几何中关于微分形式的积分的定理，该公式可以在对坐标的曲线积分和对面积的面积积分之间相互转换。
35. 泊松求和的一个特例

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36. 一维布朗运动的二次变差

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37. 欧拉提出的另一个等式

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等式左手是一个无穷乘积，在右手则为一个幂级数，其中 p(n) 表示 n 作为自然数之和的所有可能表示的数。
38. 算术-几何平均值不等式

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算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。
39. 空集的势

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40. Cartan structural equations

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41. 史特灵公式

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史特灵公式(Stirling's formula)是一条用来取n阶乘近似值的数学公式。一般来说，当n很大的时候，n阶乘的计算量十分大，所以史特灵公式十分好用。
42. Integral formula for a character of an irreducible representation of a Lie group corresponding to the co-adjoint orbit Ω.