金字塔、日晷与三角学( 二 ) _小知识

? 那为什么不直接测量弧长呢？
因为弧是一个曲线，曲线的长度并不好测量。既然是这样，我们很自然的就会想到，弯的不好了，那我们可以量直的呀。

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这个想法如此自然，以至于世界各地的古文明几乎都会想到弦这个概念。我们中国人用弓弦来命名这条弦；西方人则用琴弦(Chord) 。[4]

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?怎么通过弦长得知角度？
角度的变化和弧线的长度变化是对应的，它们都是旋转的结果，是成比例的，所以他们之间的关系也就是正比例函数(一次函数)：

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。如果半径确定，那么角度和弦长就一一对应。
但是线和它们并不是一伙的，线属于延长，角属于旋转，所以长度的增加和角度的增加并没有一个简单的比例。

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定量的描述并不容易，不过定性就简单多了。
在半径确定的情况下，如果两个弦长是一样的，角也是一样的；或者说通过半径和弦长(两个线段)的比值[2]，就可以定性的判断角是否相等。

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▌金字塔中的原始三角学
仔细看看金字塔的图，你会发现它居然是一个非常完美的正四棱锥，对于 4000 年前的人来说，在施工中保持墙壁倾角的统一，似乎是一件不怎么容易的事情，他们到底是如何做到的呢？
有 4000 年历史的金字塔身上有很多谜团，不过幸运的是这个问题，我们已经知道了答案。

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?金字塔的秘密是如何被揭开的呢？
因为发现了一本古埃及的数学教科书，而最后一个问题又和数学紧密相关，这本书就是《莱因德数学纸草书》，是已知年代最久远，内容最广泛的数学文献，第56题到第60题都是关于金字塔的内容。[1]

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金字塔高 250 腕尺，底边长 360 腕尺，它的“塞克特”是多少？
?“塞克特”是什么意思？
从后面的解答来看，“塞克特”是金字塔高度 h 与边长的一半 a/2，的比值。知道了这两条线段的长度，也就确定了倾角 θ。

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?那么具体是如何操作的呢？
之所以不通过测量斜边，而是通过测量高度和底边长度来比较倾角，是因为在施工中后面的两个量是容易得到的。
仔细看金字塔的图篇，会发现其表面并不是光滑的，而是台阶状的。每当施工出一个台阶之后，就会知道这个台阶的高度 Δh，从上面垂下绳子，就能测量 Δh 对应的底边长度 Δa，从而计算出“塞克特”，保证这个值和预期的一致，也就保证了施工的质量。
建造金字塔时保证倾角相等，就是通过两条线段来测量推算角度的过程。
古埃及人用三角学建造金字塔，中国人则用它计时。

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日晷所要测量的是太阳与地平线的夹角，已知日晷“规”的长度，再测其影子的长度，太阳的夹角知道了，背后对应的时间也就知道了。
原始的三角学不仅让金字塔得以施工，还能够让后世的法老知道金字塔到底有多高。

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测量金字塔高度的过程，就是通过角度和一条线段的长度，来推算另一条线段长度的过程。
总结

角的度量：角的常用单位有两个，角度是等分周角360份产生的；弧度是圆弧的长度。弧度在科学中更常用，因为会让公式更简洁。
圆弧和角的关系：圆弧是角均匀收敛产生的轨迹。
原始三角学：祖先们意识到了角度和长度之间是有关系的，并且利用这种关系来计时和建造金字塔，但是他们的认识仅限于定性。

注释
[1] 其实最初的时候，人们并不知道上面的文字代表什么，因为埃及的象形文字早就已经失传了，没有人能够读懂。用文字破译之后，大量的埃及文献才得以被翻译。象形文字的破译又是一段传奇的故事，是托马斯 · 杨、商博良和罗塞塔石碑之间的故事。