1、数理统计第二章自测题时间：120分钟 ， 卷面分值：100分一、填空题：（每题2分 ， 共10分） 得分 1设总体X服从参数为的泊松分布 ， X1, X2, , Xn是取自X的随机样本 ， 其均值和方差分别为和 ， 如果是的无偏估计 ， 则a=。
2设总体X的密度函数为 ， 为来自该总体的一个简单随机样本 ， 则参数的矩估计量为。
3已知,为未知参数的两个无偏估计 ， 且与不相关 ，。
如果也是的无偏估计 ， 且是,的所有同类型线性组合中方差最小的 ， 则a=， b=。
4设X是在一次随机试验中事件A发生的次数 ， 进行了n次试验得一组样本X1, X2, , Xn ， 其中事件A发生了k次 ， 则事件A发生的概率为p ， 的最大似然估计为 ；p(1-p)的 。

2、矩估计为。
5.设总体 均为未知参数 ， 为来自总体X的一个样本,当用作为的估计时 ， 最有效的是。
二、选择题：（每题3分 ， 共24分） 得分 1. 设总体X服从a,b(a0未知 ， 设X1, X2, , Xn 是来自总体X的样本 ， 求的矩估计量 ， 计算的方差 ， 并讨论的无偏性 。
得分 2(12分)设总体X 的概率密度为 其中参数q0为未知 ， 从总体中抽取样本X1, X2, , Xn ， 其样本观察值为 x1, x2, , xn ， (1)求参数q 的最大似然估计； (2)讨论是否具有无偏性；(3)若不是q 的无偏估计量 ， 修正它 ， 并由此指出q 的一个无偏量估计* 。
(4) 讨论是否具有相合性； 得分 3(6分)一个人重复的 。

3、向同一目标射击 ， 设他每次击中目标的概率为p ， 射击直至命中目标为止 。
此人进行了n(n1)轮这样的射击 ， 各轮射击的次数分别为 x1, x2, xn ， 试求命中率p的矩估计值和最大似然估计值 。
得分 4. (11)设X1, X2, , Xn是来自试求参数的UMVUE ， 并判断是否为有效估计 。
5.(8)设总体为均匀分布U(),的先验分布为均匀分布U（10,16） ， 现有三个观测值：11.7,12.1,12.（1）求的后验分布（2）求贝叶斯估计以及方差 。
6.(6)对线性模型 ， 其中M为列满秩阵 ， I为单位矩阵 ， 使用普通最小二乘方法计算参数的估计以及方差 ， 并判断最小二乘估计是否是无偏的?数理统计第二章自测题参考答案 。

【数理统计|数理统计第二章自测题】4、一、填空题： 1；2. ；3. a=0.2 ， b0.8；4. ， ；5.【提示】1因为 ， 故 ， 又 ， 即 ， 解得 。
3由题意 ， 应使得且达到最小 。
已知 ， 令 ， 求f（a）的最小值点为a = 0.2 ， 则b0.8 。
4因为X服从两点分布 ， 则E(X)=p ， 矩估计值 ， 代入p(1-p)可得其矩估计 。
设(x1, x2, xn)是X的一组样本观察值 ， 则p的似然函数为 ， 两边取自然对数为 ， 令 ， 得似然估计值为 ， 由最大似然估计的不变性 ， 可得的最大似然估计为5. 二、选择题： 1. (B)；2. (B)；3. (D)；4. （C）；5. （C） 6. (A)；7. (C)； 8.（C）【提示】1. 易得a和b的最大似然估计分别为 ， 再由最大似 。

5、然估计的不变性可得 。
2E(X)=34 ， 故 。
代入样本均值的观察值 ， 得 。
4. S2是的无偏估计 ， 但S不是的无偏估计；(n-1)/n S2是的最大似然估计 ， 所以是的最大似然估计；只有当总体是正态分布时 ， 才有S与相互独立 。
6.。
7.。
三、判断题： 1；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8. ；9. ；10. ；【提示】3. 对C-R正则族 ， 有效估计一定是一致最小方差无偏估计 ， 但反过来 ， 由于UMVUE的方差不一定能达到C-R下界 ， 所以UMVUE不一定是有效估计 。
4. 设X1, X2, , Xn为来自总体的一个样本 ， 其中参数未知 ， 似然函数为要使 ， 须满足 ， 所以 ， 即满足的统计量都是的最大似然 。

6、估计量 。
10. 贝叶斯统计中 ， 参数确实是随机的 ， 但是参数值也是由先验信息和样本信息同时决定的 。
四、计算题 1【解】因为 所以 ， 的矩估计量为 。
因为 ， 所以 ， 又 ， 所以是无偏的 。
2【解】(1)似然函数为 当x1q, x2q, , xnq 时 ， L(q)0 ， 取对数 ， 得,因为 ， 以 L(q) 单调增加 ， 因此q 越大 ， L(q)越大 ， 但qx1, x2, , xn ， 故取q 的最大似然估计值为 ， 于是q 的最大似然估计量为 。
(2)设总体X的分布函数为因为， 所以不是q的无偏估计量 。
(3)取 ， 则， 于是即*是q的无偏估计量 。
(4)由于 所以由习题2.1节题目7的结论可知是的相合估计 。
3.【解】设X为直到命中目标为止所进行 。

7、的射击次数 ， 则X服从参数为p的几何分布 ， 即 ，。
X为总体 ， p未知 ， x1, x2, xn是来自总体的一组样本值 ， 由 ， 由矩估计法有为p的矩估计值 。
似然函数 ， 令 ， 解得 。

来源：(未知)

【学习资料】网址：/a/2021/0321/0021738688.html

标题：数理统计|数理统计第二章自测题