14、流区u-u=0 。
改写上式积分上限得,这就是卡门在1921年导出的边界层动量积分方程 。
由积分方程求出的分析解称为近似解 ， 以区别于微分方程的精确解,37,材料课件,二、边界层能量积分方程,u t,把能量守恒定律应用于控制容积可推导出边界层能量积分方程,x方向上为dx ， y方向上大于流动边界层即热边界层厚度 ， 而z方向上为单位长度的一个控制容积如图所示,在常物性、流速不致引起耗散热的条件下 ， 考察控制容积的能量守恒 。
在边界层数量级分析中已经得出结论,结论：推导中仅考虑y方向上的导热,38,材料课件,u t,1）单位时间内穿过ab面进入控制容积的热量为,单位时间内穿过cd面带出控制容积的热量为,2）单位时间 。

15、内穿过bd面进入控制容积的质量流量为,由它带入控制容积的热量为,39,材料课件,u t,3）穿过ac面 ， 因贴壁流体层导热带出控制容积的热量为,在稳态条件下 ， 根据能量守恒进入与带出控制容积的热量相等 ， 于是可得,整理后得,40,材料课件,因为在热边界层以外t-t=0 ， 上式积分上限可改为t ， 得,三、边界层积分方程组求解示例,作为边界层积分方程组求解的示例 ， 仍以稳态常物性流体强制掠过平板层流时的换热作为讨论对象 。
壁面具有定壁温的边界条件 。
在常物性条件下 ， 动量积分方程不受温度场的影响 ， 可先单独求解 ， 解出层流边界层厚度及摩擦系数 ， 然后求解能量积分方程 ， 解出热边界层厚度及换热系数,41,材料课件,1. 求解 。

16、流动边界层厚度及摩擦系数,为求解上式 ， 还需补充边界层速度分布函数u=f(y) 。
选用以下有4个任意常数的多项式作为速度分布的表达式: u=a+by+cy2+dy3,42,材料课件,式中 ， 4个待定常数由边界条件及边界层特性的推论确定 ， 即,y=0时 u=0 且,y=时u=u 且,由此求得4个待定常数为,于是速度分布表达式为,43,材料课件,以， 并按x=0时 ， =0 ， 将式(6)分离变量 ， 并积分得,将式(4)对y求导 ， 得壁面(y=0)速度梯度,将式(4)和(5)分别代入式(3),积分得,44,材料课件,无量纲表达式为,其中Rex= ux/,其特性尺度为离平板前缘的距离x,在x处的壁面局部切应力,45,材 。

17、料课件,在工程计算中常使用局部切应力与流体动压头之比 ， 称为摩擦系数 ， 亦称范宁摩擦系数 ， 其表达式为,2. 求解热边界层厚度及换热系数,先求解热边界层厚度 。
为从式（2）求解热边界层厚度 ， 除u=f(y)已由式（4）确定外 ， 还需要补充热边界层内的温度分布函数t=f(y) 。
对此 ， 亦选用带4个常数的多项式,t=e+fy+gy2+hy3,46,材料课件,式中 ， 4个待定常数由边界条件及热边界层特性的推论确定 ， 即,y=0时 t=tw且,y=时 t= t且,由此求得4个待定常数为,e=tw g=0,若用以tw为基准点的过余温度=t-tw来表达 ， 则温度分布表达式为,47,材料课件,能量积分方程式（2）用过余温度表示 。

【行业参考|边界层分析求解[行业参考]】18、为,进一步求解中 ， 令热边界层厚度与流动边界层厚度之比t/= ， 并假定1的流体显然是适用的,最后得到,48,材料课件,其次求解局部换热系数x,其无量纲表达形式为,最后求解平均换热系数h,计算物性参数用的定性温度为边界层平均温度,49,材料课件,四、边界层积分方程组与微分方程组,1. 积分方程的推导与微分方程推导的异同,差别：微分方程是对微元控制容积dxdydz推导的 ， 要求微元体范围内每个流体质点都满足守恒关系 ， 且对两个方向上的参量均考虑；而积分方程是对一个有限的容积ldx来推导的 ， 推导时 ， 忽略y方向上的参量变化 ， 只注意x方向上的参量变化,共同点：是运用同样的守恒定律,50,材料课件,2. 与微分方程相比 ， 积分方程的近似性何在,从推导过程来看 ， 积分方程只要求控制体在进出口截面处整体上满足守恒关系 ， 也就是说 ， 只要求在进出口截面上的积分平均值满足守恒定律 。
微分方程要求微元体范围内每个流体质点都满足守恒关系,例如 ， 积分方程推导中 ， 平面ab的质量流量 为 只要 相等， 即如图所示的 两根速度曲线与y轴间的面积相等 ， 即认为 两者无差别 。
实际速度分布完全不同 ， 这是 它的解被称为近似解的原因,51,材料课件 。

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标题：行业参考|边界层分析求解[行业参考]( 三 )