1、行列式的计算及应用+大学2014届本科毕业论文论文题目:学生姓名:完成时间:*fe* H * 日所院系:数学科学学院所学专业:数学与应用数学（金融方向）*导师姓名:行列式的计算及应用摘要在高等代数这门课程里,行列式是最基本而又重要的内容之一 ， 同时也是数 学研究中的重要的工具之_ 在线性代数、数学分析、解析几何等众多课程理论中以及实际问题中许也发挥着重要作用 ， 了解如何计算和应用行列式显得尤为重本文首先阐述行列式的基本理论 ， 在此研究的基础上介绍了降阶法 ， 归纳法, 化三角形法等几种常见的且有一定技巧的解行列式的方法 ， 并列举了相关的例 子 ， 更直观地了解解行列式方法的精髓 。
另外 ， 本文又介绍了行列式在解析 。

2、几何、 代数及其他课程当中的应用迸一步加深了对行列式的理解 。
最后本文又列举实 例阐述行列式在实际当中的应用 ， 实现了行列式的理论与实际相结合 。
研究行列 式的计算方法及其应用可以提高对行列式的认识 ， 有利于把行列式的研究推向深 入 。
通过这一系列的方法可以迸一步提升对行列式的认识 ， 为以后学习莫定了基 础 。
关键词：行列式 ， 因式分解.化三角形法 ， 归纳法,加边法 ， Matlab软件Determinant calculation and applicationAbstractThis course in advanced algebra, the determinant is one of the most b 。

3、asic and important content, while many math curriculum theory is one of the important research tools, linear algebra, mathematical analysis, analytic geometry, etc. as well as practical problems also plays an important role in understanding how to calculate and apply the determinant is particularly。

4、important.This paper first describes the basic theory of determinants, based on this study describes the reduction method, induction techniques and a certain common determinant of several methods of solution method, the method of the triangle, and cited relevant examples, more intuitive understandin 。

5、g of the essence of the solution determinant method. In addition, this paper describes the determinant in analytic geometry, algebra and other courses which further deepened the understanding of the determinants. Finally, they provide examples described determinant application in practice to achieve 。

6、 a theoretical and practical determinant combined. Research determinant calculation method and its application can improve the understanding of the determinant, is conducive to deepen the study of determinants. You can further enhance the understanding of the determinants through this series of meth 。

7、ods, laid the foundation for future learning*Keywords： determinants, factorization of a triangle, induction, plus side method, Matlab software目录1. 行列式的定义及性质11.1行列式的定义11.1.1 HE 列11.1.2 定义11.2行列式的相关性质12. 行列式的计算方法52.1几种特殊行列式的结果52.1.1三角行列式52-1.2对角行列式52.2定义法52.3利用行列式的性质计算62.4降阶法62.5归纳法72.6递推法82.7拆项法92.8用 。

8、范德蒙徳行列式计算102.9化三角形法102.10加边法112.11拉普拉斯翹的运用122.12行列式计算的Matlab实验133.行列式的应用153.1行列式应用在解析几何中153.2用行列式表示的三角形面积163.3应用行列式分解因式16173.5利用行列式来证明拉格朗日中值定理173.4利用行列式解代数不等式参考文献1820附录236行列式在实际中的应用总结 附录附录323谢辞241. 行列式的走义及性质1.1行列式的定义1.1.1排列在任意一个排列中,若前面的数大于后面的数,则它们就叫做一个逆瘵 ， 在 任意一个排列中,逆瘵的总数就叫做这个排列的逆序数.1.1.2走义阶行列式an ai2。

9、ain就相当于全部不同行.列的个元素的乘积aijLa2j2 anjn(1-1-1)的代数和 ， 这里jj2 -jn是1,2,/的一个排列,每一顶(1-1-1 )都按下列规 则带有符号：当M J是偶幷洌时,(1-1-1 )是正值当M J是奇H洌时, (1-1-1 )是负值这一定义可以表述为=工 j山几(1-1-2)这里表示对所有级排列求和.jjf jn由于行列指标的地位是对称的,所以为了决定每一项的符号 ， 我们也可以把 每一项按照列指标排起来 ， 所以定义又可以表述为=工(-1)叫%0(1-1-3)1.2行列式的相关性质11 %记d=5山2a“nlnln2nn则行列式D叫做行列式D的转置行列式.性质1行列 。

10、式和它的转置行列式是相等的2】即D =D.证明：记D中的一般顶个元素的乘积是7它处于Q的不同行和不同列 ， 所以它也处于D的不同行和不同列 ， 在D中 应是所以它也是D中的一项反之 ， D的每一项也是D的一顶 ， 即D和D有相同 的顶再由上面（1-2 ）和（1-3 ）可知这两项的符号也相同 ， 所以D =D.性质2kg2也26k%a”2 2勺“kjkcjka.证明：/ii2m%Clnn= kaiAil+kai2Ai2+- + ka,lAili= KailAil+ai2Ai2+-+ainA.t)性质3如果行列式的某行（列）的元素都为两个数之和【2】,如+ q b2 + c2 bH + cn5a.2%那么行列式D就等 。

11、于下列两个行列式的和:ain11 a!2仏D =b2bn+55Cln2%5 an2%可以参照性质2的证明得岀结论.性质4对换行列式中任意两行的位置行列式值相反即若设anl anl ann则 。
=-D.证明：记D中的一般顶中的个元素的乘积是它在D中处于不同行、不同列,因而在卩中也处于不同行.不同的列,所 以它也是D,的一项反之 ， 中的每一项也是D中的一项,所以D和D有相同 的顶 ， 且对应的项绝对值相同.现在看该项的符号:它在D中的符号为（_ ）r（人上力山人）由于 。
是由交换Q的八R两行而得到的所以行标的级排列12 7 4 变为“级排列n-i -k-n ， 而列标的“级排列并没有发生变化因此D和 。
中每 一对 。

12、相应的项绝对值相等 ， 符号相反即Dl-D.性质5如果行列式中任有两行元素完全相同,那么行列式为零.证明：设该行列式为D ,交换Q相同的那两行,由性质4可得D = -D,故 0 = 0.性质6如若行列式中任有两行或者两列元素相互对应成比例,则行列式为 零.证明：设n阶行列式中第/行的各个元素为第j行的对应元素的k倍 ， 由性质 2 ,可以把R提到行列式外 ， 然后相乘则剩下的行列式的第/行与第丿行两行相 同再由性质5 ,最后得到行列式为零.性质7把任意一行的倍数加到另一行行列式的值不改变.2. 行列式的计算方法2.1几种特殊行列式的结果2.1-1三角行列武=ana22 （上三角行列式）%（下三角行列式）2 。

13、.1-2对角行列武 ann2.2走义法例1用定义法证明ci2b2C.6*000b400055000=0.证明：行列式的一般项可表成% a2j：人%咳列标人 ， 力 ， Js只能在123,4,5 中取不同的值,故 U 三个下标中至少有一个要取3,4,5中的一个数,则任意 一顶里至少有一个0为因子 ， 故任一项必为零 ， 即原行列式的值为零.03 c0aL2一即 ainai2023 chn120一心3 a2nai3-230ch,=230 一-一勺”0偽”0013=(-1)aL2_ni30a250冬”= (-1)5 ， -ama2n02.3利用行列式的性质计算例2 个阶行列式Dn = |o.|的元素都满足a. = -a 。

14、.,i, j = 1,2,那么 0叫做反对称行列式 ， 证明：奇数阶的反对称行列式的值等于0.证明：由山=-cijj 知 au = _aa ,即 ati =0J = 1,20CI12一勺3所以行列式2可写为2 =120-CI.13冬30/lna2na3n,再由行列式的性当川为奇数时 ， 得Dn = -Dn t因而得到D=0.2.4降阶法例3计算（心2）级行列式心 X 0解：按第一列展开得到Xy000V0000Xy -00Xy -00:+ yx(_l 严-000 - Xy00 -y0000 -0X5-1)阶00 - Xys-1）阶原式=X=XXx”T + (-l)ST)xyx 严 + (1)(性(心2) 。

15、2.5归纳法形如行列式11 1 - 15D,严处 Ga；川L1门 /r-1门 /r-1小 /ra25ttn叫做阶范德蒙(Vandermonde)行列式.下面证明,对每一个n(n 2), n阶范德蒙行列式就等于卫”卫“这n个数的所有可能的差J (1 .a1：1L】an中 ， 第行减第”-1行的勺倍 ， 第1行减第2行的勺倍 ， 即由下而上逐次地从每一行减它上一行的勺倍r得到11 10a2 - 1 一D” =0a； _ aia2& - a0cir cicici 3 a Ci、11a；-aAa25 - Cln 叽%t _ %a；7_ a2町FT=（冬一 6）（一勺）ar勺）Cl最后面这个行列式是H- 1级范德蒙 。

16、德行列式,再由归纳法假设 ， 它的值就是 6 - 5 d1 1儿1的绝对值.儿1证明：把平面中P（“,儿） ， Q（x2,y2）,儿）为三点扩充到三维空间里 设k是任意的常数.则:它的坐标分别为（心开,k）. （x2, y2 ， 灯 ， 厲儿 ， k） tPQ = (x2-xy2-yP0)f PR = (x3-xpy3-yp0)则PQPR = 0. Xz_A1 儿_牙)儿一PR sm S3.3应用行列式分解因式利用行列式分解因式主要在于构造 再根据行列式的性质来计算以便于提 取公因式.例13解因式 %3 +x2 - x + 2 解:疋 +亍x+2 = x(x + l) (x 2)x2 x-21 x+l（把第一列加 。

17、到第二列）x x + x 21 x+2(x + 2)(x-l)x+2（提取公因式）= 0 + 2)；(x l)=（% + 2X2 一 x + l）3.4利用行列式解代数不等式a + b + c例14求证不等式 abc,其中证明：要证明 d abc,只需证明cF+b+c 3abc 0 ；aci +b +c 一 3cibc= cbb ca b （把第二行、第三行各自加到第一行）c aa + b + ca+b+c a+b+=cabbcCl1 1 1=(a+ b + c)cabb c a=(a + b + c)(a2 +b2 +c2 -ab-bc-ac) =(a+ b + c)(a - by +(a- 。

18、 c)2 +(b- c)2a? + b +因为 abcw R3所以川+b+c 3abc n 0,故 abc得证.3.5利用行列式来证明拉格朗日中值走理卩】总结行列式从线性方程组的问题引出来 ， 成为线性代数中一个最基本的工具.在 高深的高等数学领域里和现实生活里的实际问题当中 ， 都有着直接或者间接的联 系.行列式一般有很多种计算方法,综合性要求也很高 ， 比较灵活,这就要求我 们平时在学习当中多练习多总结一般常用来计算行列式的方法主要有降阶法. 归纳法,化三角形法 ， 范德蒙德行列式等本文先从行列式的定义以及性质岀发, 介绍了求解行列式比较基本的方法随后又介绍了几种比较常见的有技巧的方 法 ， 如加边法降阶法、 。

19、化三角形法等,加深了对行列式的研究最后还列举了 用数学软件Matlab求解行列式的方法,给求行列式带来了极大的方便.行列式在数学科学领域中有着普遍的应用 ， 本文介绍了行列式在解析几何、 代数及其他课程中的应用通过这一系列应用逬一步提高对行列式的认识,为以 后的学习发挥着重大作用最后又列举了行列式在现实中的应用 ， 化抽象为具体, 更加深入理解行列式的作用.参考文献1北京大学数学系几何与代数教研小组编高等数学（第三版）ML2003.1-1202毛纲源线性代数解题方法技巧归纳M武汉：华中科技大 2000.31-483贾兰香、张建华线性代数.南开大学岀版社MJ2003.1-474钱吉林.高等代数题解精粹M 。

20、.北京：中央民族大学岀版112002.58-79 吕林根、许子道解析几何高等教育出版社（第四版）Mr2004.23-45 杨立群.行列式在初等代数中的应用卩东北师范大学学报,2012.67华东师范大学数学系数学分析（第二版）M 北京:高等教育岀版社f2000.59-658贾计荣.行列式在初等代数中的应用J太原大学教育学院学报2007 年增刊（总第83期）9李小刚线性代数及其应用M科学岀版社f 2006. 51-5710刘剑平.施劲松线性代数及其应用M华东理工大学岀版社 ，2012.45-48A=l 3 5;
2 4 2;
6 3 9A =1 352 42639det(A)ans =附录2-5;
3。

【行列式|行列式的计算及应用】21、1 2 11-78A=l 1 1 1；12-1 4;
2 -3-A =251 2142 3153 1211b=4 6 -7 17*b =6717x=inv(A)*bx =1.00001.00001.00001.0000附录3syms abedA=a b;
c dA =a, bc,ddet(A)ans =谢辞在这次毕业论文的书写过程中,最为感谢的是我的指导老师姜贺老师 ， 本文 是在姜老师精心指导下完成的,从论文选题到研究最后到完成的过程中 ， 姜老师 始终细心的对我逬行指导 ， 并时常给我鼓励和支持 。
感谢他及时的纠正与指导, 感谢他在百忙之中对我的关键性建议,感谢老师提供的相关材料 。
正是因为有老 师的陪伴指导,才能使我的毕业论文完成的如此顺利成功 。
同时在此感谢四年来 教授我知识的所有老师和陪伴我一起成长的同学特别是和我朝夕相处的室友们 ，因为有你们 ， 我的大学才如此精彩 。
虽然四年之中我也努力的完成了专业课程, 但是书写毕业论文对我来说还是一个较为艰巨的挑战 ， 因为有了那些同学与老师 的帮助我的论文最终完成了在此我表示真切的谢意 。

稿源：(未知)

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标题：行列式|行列式的计算及应用