【猎犬|猎犬追狐狸试题中追击时间问题的严格求解】1、猎犬追狐狸试题中追击时间问题的严格求解1试题 这是一道有趣的高中物理运动学奥赛题：如图1 所示 ，有一只狐狸以不变速度v1沿着直线AB逃跑 ，一猎犬以不变的速率v2追击 ，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F处 ， 猎犬在D处 ，FBL， 设v2 v1问猎犬追上狐狸还需多长时间？ 2高中一般解法 把这个追击过程按时间等分成很多个小段 ， 每小段的时间间隔为t ， 设某时刻 ， 猎犬运动到了E点 ， 狐狸运动到了H点 ， 此时猎犬的速度方向应该沿EH的连线方向 ， 设这个方向与DF方向的夹角为i ， 那么猎犬在追上狐狸的过程中 ， 猎犬和狐狸在AB方向上的位移关系为 iv2siniv1t（1） 即v2isinit=v1t（2）。

2、isinit=v1v2t（3） 在二者连线的方向上 ， 由于猎犬速度始终朝向狐狸 ， 所以相对运动的位移关系为 i（v2-v1sini）t=L（4） 即v2t-v1isinit=L（5） 将（3）式带入（5）式可得t=v2Lv22-v21（6） 这里用到了积分的思想 ， 两个式子中都含有一个共同项isinit ， 因而可以当作一个整体处理. 3严格解法 在这里 ， 我们用微分方程方法 ， 严格求解这一问题 ， 并得到猎狗运动的轨迹方程. 如图3所示建立坐标系 ， 以猎狗的初始位置为坐标原点 ， 以初始时刻猎狗与狐狸连线方向为x轴.狐狸的初始坐标为（L ， 0） ， 之后沿垂直于x轴向上的方向运动.设之后猎狗运动的轨迹方程为y=f（x） ，。

3、图中如虚线所示.在t时刻二者分别运动到了E点和H点 ， 则EH方向为此时刻猎狗的速度方向 ， 设其与x轴的夹角为 ， E点到FH的垂足为G ，有tan=dydx（7） 同时 ， 在EGH中有 （L-x）tan=v1t-y（8） （7）式代入（8）式得（L-x）dydx=v1t-y（9） 两边对x求导得 -dydx+（L-x）d2ydx2=v1dtdx-dydx（10） v1dt=（L-x）d2ydx2dx（11） 对于猎狗 v2dt=ds=dx2+dy2=1+（dydx）2dx（12） （11）/（12）可得猎狗运动轨迹的微分方程 v1v2=（L-x）d2ydx21+（dydx）2（13） 下面对该方程求解 ，。

4、令=v1v2 ， z=dydx ， 则（13）式可化为 dz1+z2=dxL-x（14） 两边积分得ln（z+1+z2）=lnLL-x+C1（15） 由初始条件知 ， 当x=0时 ， z=0 ， 代入上式得C1=0 ， 故上式可化为 z=12（L-xL）-（L-xl）（16） 再次积分可得 y=121-1（L-xL）-+1-1+1（L-xL）+1+C2（17） 由初始条件知 ， 当x=0时 ， y=0 ， 代入上式可得 C2=L1-2（18） 即猎狗的运动轨迹方程为 y=121-1（L-xL）-+1-1+1（L-xL）+1+L1-2（19） 猎狗追上狐狸的条件为x=L ， 代入（19）式 ， 可得 ， 此时 y=L1-2=v1v2Lv22- 。

5、v21（20） 追赶时间即t=yv1=v2Lv22-v21（21） 这和用高中的一般解法所得的结果一致. 4扩展讨论 （1）如果猎狗的速度大小和狐狸一样 此时 ， v1=v2 ， =1 ， （16）式将变为 z=12（LL-x-L-xL）（22） 积分可得猎狗的轨迹方程为 y=14L（L-x）2-L2lnL-xL-L4（23） 方程在x=L处发散 ， 即猎狗永远追不上狐狸. （2）如果猎狗的速度大小小于狐狸 此时 ， v1v2 ， 1 ， 猎狗的运动轨迹方程还是（19）式 ， 但在x=L处y值发散 ， 显然这种情况下猎狗更追不上狐狸. 5数值模拟比较 为了验证严格解法所得解析式的正确性 ， 我们用Matlab软件对这一问题进行了数值方法模拟 ， 并和（19）式结果进行了比较.数值模拟过程中 ， 我们取了一些具体的初始值：v1=2 ， v2=4 ， L=20 ， 结果如图4所示 ， 二者符合得很好 ， 也验证了严格解法的正确性.第 4 页 共 4 页 。

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标题：猎犬|猎犬追狐狸试题中追击时间问题的严格求解