【清华大学|清华大学2016年暑期学校测试真题】1、清华大学2016年暑期学校测试真题1. 已知且 ， 则的取值范围是 .【答案】 【解析】根据题意 ， 有 ， 于是的取值范围是.2. 在锐角中 ， 则的面积是 .【答案】【解析】解法一：由正弦定理可得 ， 其中R为外接圆半径 ， 于是 ， 从而根据余弦定理 ， 解得（此时B为钝角 ， 舍去）或.因此的面积.解法二：根据正弦定理 ， 于是 ， 其余同解法一.3. 已知椭圆的左、右焦点分别为 ， 过点作直线与椭圆交于A ， C两点 ， 直线的斜率为1 ， 过点作直线与椭圆交于B ， D两点 ， 且 ， 则四边形的面积是 .【答案】【解析】由焦点弦长公式 ， 可得四边形的面积其中.4. 在正方体的底面内有一点 ， 且 ， 则的最大值是 .【答案】【解析】作平面 ， 如下页图 ， 根据题意 ，。

2、点在线段上运动.于是,当位于的中点时取得等号 ， 因此所求的最大值为.5. 已知集合,则 .【答案】-9【解析】根据题意 ， 于是 ， 从而由韦达定理得 ， 于是.6. 圆心为点的单位圆沿轴正向滚动 ， 初始时刻点的坐标为 ， 当圆心运动到时 ， 点的坐标为 .【答案】【解析】先考虑旋转 ， 则整个圆顺时针旋转了 ， 于是点旋转到点；再考虑平移 ， 可得7. 已知等差数列的前项和为 ， 且 ， 则 .【答案】-2121【解析】根据题意 ， 关于的方程有两个实数根和 ， 考虑到形如 ， 因此由可得 ， .备注：一般地 ， 若等差数列的前项和满足且 ， 则.8. 数列满足 ， 已知的通项可以表示成的形式 ， 则数列通项的一个表达试为 .【答案】【解析】根据题意 ， 有于是考虑周期 。

3、为3 ， 对应 ， 由得解得 ， 取 ， 于是可取.9. 定义 ， 且.集合 ， 集合.(1) 求 ， .(2) 设为集合的元素个数 ， 求的最小值.【解析】(1)根据的定义 ， 有,.(2)设集合中有个元素既不在中也不在中 ， 个元素只在集合中 ， 个元素只在集合中 ， 个元素同时在集合,中 ， 如图.则当,时等号成立 ， 即 ， 且时可取到最小值 ， 也可以直接取 ， 因此所求的最小值为2016.10. 已知 ， 自变量、相位、函数值的部分取值如下表3(1) 求的解析式；(2) 求的单调递增区间；(3) 求在内的所有零点.【解析】(1)根据题意 ， 也即.(2)函数的单调递增区间为.(3)函数的零点形如 ， 或 ， 解得其在内的所有零点为.11. 已知圆 ， 为圆与轴的两个不同的交点 ， 是圆在点处的切线 ， 为圆上不与重合的点 ， 过点的切线交于两点 ， 与交于点.(1) 求与之间的数量关系；(2) 存在一点且 ， 使得的最小值是 ， 求的值.【解析】(1)如图 ， 设在轴上的投影为 ， 则由梯形的性质可得其对角线的交点为线段的中点.因此与之间的数量关系为.(2)根据题意 ， 由于 ， 因此只有解得.12. 已知直线为曲线在点处的切线.(1) 求直线的方程(2) 求证：当时 ， 直线除切点外恒在的上方.【解析】(1)记 ， 则的导函数 ， 于是切线方程为.(2)只需要证明当时 ， 有 ， 也即.因此只需要证明.即.这显然成立 ， 因此原命题得证.本文档由华夏园教育提供 。

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