1、圆梦教育中心 排列组合专项训练 1.题1 (方法对比 ， 二星) 题面：(1)有5个插班生要分配给3所学校 ， 每校至少分到一个 ， 有多少种不同的分配方法？ (2)有5个数学竞赛名额要分配给3所学校 ， 每校至少分到一个名额 ， 有多少种不同的名额分配方法？ 解析：“名额无差别”相同元素问题 (法1)每所学校各分一个名额后 ， 还有2个名额待分配 ， 可将名额分给2所学校、1所学校 ， 共两类：2133CC?(种) (法2挡板法) 相邻名额间共4个空隙 ， 插入2个挡板 ， 共：246C?(种) 注意：“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别 ， 且每个位置至少分配一个元素的问题.(位置有差别 ， 元素无差别 ) 同类题一 题面： 有10个 。

2、运动员名额 ， 分给7个班 ， 每班至少一个,有多少种分配方案？ 答案：69C 详解： 因为10个名额没有差别 ， 把它们排成一排 。
相邻名额之间形成9个空隙 。
在9个空档中选6个位置插个隔板 ， 可把名额分成7份 ， 对应地分给7个班级 ， 每一种插板方法对应一种分法共有69C种分法 。
同类题二 题面： 求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数 。
答案：36. 详解： 将10个球排成一排 ， 球与球之间形成9个空隙 ， 将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板） ， 规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z之值, 故解的个数为C92=36（个） 。
2.题2 (插空法 ， 三星) 题面：某展室有9个展台 ， 现有3件展品需要 。

3、展出 ， 要求每件展品独自占用1个展台 ， 并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻 ， 则不同的展出方法有______种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位 ， 则不同的展出方法有____种. 答案：60 ， 48 同类题一 题面： 6男4女站成一排 ， 任何2名女生都不相邻有多少种排法？ 答案：A66A47种. 详解： 任何2名女生都不相邻 ， 则把女生插空 ， 所以先排男生再让女生插到男生的空中 ， 共有A66A47种不同排法 同类题二 题面： 有6个座位连成一排 ， 现有3人就坐 ， 则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( ) A36种 B48种 C72种 D96种 答案：C. 详解：恰有两个空座位相邻 ， 相当 。

4、于两个空位与第三个空位不相邻 ， 先排三个人 ， 然后插空 ， 从而共A33A2472种排法 ， 故选C. 3题3 (插空法 ， 三星) 题面：5个男生到一排12个座位上就座 ， 两个之间至少隔一个空位 1没有坐人的7个位子先摆好 ，2(法1插空)每个男生占一个位子 ， 插入7个位子所成的8个空当中 ， 有： 58A=6720种排法. (法2)15个男生先排好：55A； 2每个男生加上相邻的一个座位 ， 共去掉9个位置 ， 当作5个排好的元素 ，共有6个空 ， 剩下的3个元素往里插空 ， 每个空可以插1个、2个、3个元素 ，共有：3216662CCC?种 ，综上：有55A(3216662CCC?)=6720种. 同类题一 题面：文艺团体下基 。

5、层宣传演出 ， 准备的节目表中原有4个歌舞节目 ， 如果保持这些节目 的相对顺序不变 ， 拟再添两个小品节目 ， 则不同的排列方法有多少种？ 答案： 30 。
详解： 记两个小品节目分别为A、B 。
先排 A节目 。
根据A节目前后的歌舞节目数目 考虑方法数 ， 相当于把4个球分成两堆 ， 有种方法 。
这一步完成后就有5个节目了 。
再考虑需加入的B节目前后的节目数 ， 同理知有种方法 。
故由分步计数原理知 ， 方 法共有（种） 。
同类题二 题面： (2013年开封模拟)2位男生和3位女生共5位同学站成一排 ， 若男生甲不站两端 ， 3位女生中有且只有两位女生相邻 ， 则不同排法的种数是( ) A60 B48 C42 D36 答案：B. 详解： 第一步 。

6、选2女相邻排列C23A22 ， 第二步与男女排列A22 ， 第三步男生甲插在中间 ，1种插法 ， 第四步男男生插空C14 ， 故有C23A22A22C1448种不同排法 4.题4 (隔板法变形 ， 三星) 题面：15个相同的球 ， 按下列要求放入4个写上了1、2、3、4编号的盒子 ， 各有多少种不同的放法? (1)将15个球放入盒子内 ， 使得每个盒子都不空；314364C? (2)将15个球放入盒子内 ， 每个盒子的球数不小于盒子的编号数； (3)将15个球放入盒子内 ， 每个盒子不必非空； (4)任取5个球 ， 写上1-5编号 ， 再放入盒内 ， 使每个盒子都至少有一个球； (5)任取10个球 ， 写上1-10编号 ， 奇数编号的球放入奇数编号的盒 。

7、子 ， 偶数编号的球放入偶数编号的盒子 解析： (2)先将2、3、4号盒子分别放入1、2、3个球 ， 剩下的9个球用挡板法 ， 38C=56 (3)借来4个球 ， 转化为19个球放入盒子内 ， 每个盒子非空 ， 318816C? (4)不能用“挡板法” ， 因为元素有差别. (法1)必有一个盒子有2个球 ， 2454240CA?； (法2)先选3个球 ， 分别排到4个盒子中的3个里 ， 剩下的盒子自然放2个球. 3354240CA?； (法3)4154480AC? ， 会重！需要除2！ 重复原因：1号盒子放1、5号球 ， 先放1后放5与先放5、后放1是一样的！ (5)(法1)每个球都有2种选择 ， 共有102种方法； (法2)奇数号的球有1、3 。

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