(5) 三个事件都不出现三个事件都不出现;
(2) A, B都出现都出现, C 不出现不出现;
(3) 三个事件都出现三个事件都出现;
(4) 三个事件至少有一个出现三个事件至少有一个出现;
;
)1(CBA ;
)2(CAB ;
)3(ABC ;
)4(CBA ;
)5(CBA (6) 不多于一个事件出现不多于一个事件出现;
;
)6(CBACBACBACBA 0( )1 n fA A nn ,( ) An nfA A ( ) A n n fA n n A A 。

9、 nn A nAA,( ) n fA 15 试验试验 序号序号 5 n H nf 1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 1 2 4 H nf 50 n 22 25 21 25 24 18 27 H n 500 n 251 249 256 247 251 262 258 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.44 0.50 0.42 0.48 0.36 0.54 f 0.502 0.498 0.512 0.494 0.524 0.516 0.50 0.502 实例实例1 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次, 各做各做 7 遍遍, 观察 。

10、正面出现的次数及频率观察正面出现的次数及频率. 处处波波动动较较大大在在 2 1 波动最小波动最小 随随n的增大的增大, 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性 处处波波动动较较小小在在 2 1 16 )(Hf 的增大的增大n . 2 1 实验者实验者nH n () n fH 0.5005 12012 24000皮尔逊皮尔逊 0.5016 6019 12000皮尔逊皮尔逊 0.5069 2048 4048蒲蒲 丰丰 0.5181 1061 2048 德德 摩根摩根 17 我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验 高尔顿高尔顿(Galton)板试验板试验. 试 。

11、验模型如下所示试验模型如下所示: 自上端放入一小球自上端放入一小球,任其自任其自 由下落由下落,在下落过程中当小球碰在下落过程中当小球碰 到钉子时到钉子时,从左边落下与从右边从左边落下与从右边 落下的机会相等落下的机会相等.碰到下一排钉碰到下一排钉 子时又是如此子时又是如此.最后落入底板中最后落入底板中 的某一格子的某一格子.因此因此,任意放入一球任意放入一球, 则此球落入哪一个格子则此球落入哪一个格子,预先难以确定预先难以确定.但是如果放但是如果放 入大量小球入大量小球,则其最后所呈现的曲线则其最后所呈现的曲线,几乎总是一样几乎总是一样 的的. 18 单击图形播放单击图形播放/ /暂停暂停E 。

12、SCESC键退出键退出 请看动画演示请看动画演示 19 20 对相同或不同的试验次数 ， 同一事对相同或不同的试验次数 ， 同一事 件的频数不一定相同 ， 从而所得的频率也不一定相同件的频数不一定相同 ， 从而所得的频率也不一定相同， 因而无法用频率来度量事件发生的可能性的大小； ， 因而无法用频率来度量事件发生的可能性的大小； 1lim p n n P A n pA 随着试验次数的无限增大 ， 事件的随着试验次数的无限增大 ， 事件的 频率逐渐稳定于某个常数 ， 因而可用该常数来度量事频率逐渐稳定于某个常数 ， 因而可用该常数来度量事 件发生的可能性的大小 。
件发生的可能性的大小 。
21 pAP)( )()(AfAP n 22。

13、1 1）、）、 设设为随机试验为随机试验E E的样本空间 ， 对的样本空间 ， 对E E的每个事的每个事件件A A ， 称 ， 称 满足下列公理的实数满足下列公理的实数( (集合函数集合函数)P(A)P(A)为事件为事件A A的概率的概率: : 、非负性、非负性;
0)(AP 、规范性、规范性( )1;
P 、可列可加性、可列可加性 设设 为两两互斥事件组为两两互斥事件组, , 则有则有 , 21 AA ).( 11 k k k k APAP 23 . )()()( 111 kk k k k PAPAPP 由概率的公理化定义可得概率的性质由概率的公理化定义可得概率的性质: : P()=0.P()=0. 证在可列可 。

14、加性中取所有的证在可列可加性中取所有的A AK K=得得: : 再由非负性得再由非负性得: :. 0)(P 设设 为两两互斥事件组为两两互斥事件组, ,则有则有 n AAA, 21 ).( 11 n k k n k k APAP 有限可加性有限可加性 证在可列可加性中取证在可列可加性中取A AK K=(k=(k=n+1,n+2,=n+1,n+2,), ), 再利用性质再利用性质1 1即得即得. . 24 ).(1)(APAP 证因为证因为 ,AAAA 1( )()( )( )PP AAP AP A 即即 ).(1)(APAP ：公式：公式 在计算概率时是非常在计算概率时是非常 有用的有用的.。

15、.当直接计算某事件概率比较困难时当直接计算某事件概率比较困难时, ,可以转可以转 而计算其对立事件的概率 ， 进而利用上述公式所需而计算其对立事件的概率 ， 进而利用上述公式所需 的概率的概率. . )(1)(APAP 所以由有限可加性及规范性得所以由有限可加性及规范性得: : 25 证将事件证将事件B B分解为互斥事件的和事件得：分解为互斥事件的和事件得： 若若 , , 则则AB );
()()(APBPABP .)(, )(ABAABAB 由有限可加性得由有限可加性得: : )()(ABAPBP 即得即得: : ).()()(ABPAPBP 由非负性得由非负性得: : ).()(APBP 减法公减法 。

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标题：概率论|概率论：随机事件及其概率( 二 )