21、使联合国安全理事会的投票也 成为了一个加权投票 。
证明 接下来我们自然猜测是否所有单调的 yes/no 系统都是 加权投票 。
但是 ， 这个猜测是不对的 。
联合国安全理事会 通过议案需要 9 票 ，而且还需要 5 个常 任理事国没有投反 对票 。
一个 yes/no 投票系统称为是对换稳健的 ，如果任取两个赢的联盟 ， 并各取 一个投票人 ， 对换 这两个投票人 ， 那么新的两个联盟中至少 有一个是赢的 。
Theorem任何加权投票系统都是对换稳健的 。
用来表示投票人的权重 ， 而是 系统的限额 。
都是赢的联盟 ， 意味 着 假定 ， 不 妨假设 那么 或者说新的联盟一 定是赢的 。
证明 我们取是由 218 个最高的众议员、5 。

22、1 个 最高的参议员和总统组成的联盟 ， 是由 218 个最矮的众议员、51 个最矮的参议员和 总统组成的联盟 。
设是那个最高 的众议员 ， 而是那个最矮的参议 员 。
对换之后 ， 一个中仅有 217 名众议院 ，而另一个中仅有 50 名参议员而且没有副总 统 。
所以两个新的联盟都是输的 。
证明 Theorem美国联邦系统不是对换稳健的 。
众议院中至少 218 票 ， 参议院中至少 51 票 ， 总统 1 票； 众议院中至少 218 票 ， 参议院中 50 票 ， 总统和副总统 各 1 票； 众议院中至少 290 票 ， 参议院中至少 67 票 。
Corollary美国联邦系统不是加权投票系统 。
() 一个 yes/no 投票系统 。

23、称为是交换稳健的 ，如果在一组 可以多于两个 赢的联盟之间 做任意的交换 ， 交换之后得到的新联盟中 至少有一个是赢的 。
这里进行的交换与上 面的对换不同 ， 可以用数个投票人换一个 投票人 ， 而前面的对换是一对一的 。
Theorem任何加权投票系统都是交换稳健的 。
是否所有对换稳健的单调 yes/no 系统都是加权投票 。
但是 ， 这个猜测仍是不对的 。
证明 Theorem 一个单调的 yes/no 投票系统是加权投票系统 的充分必要条件是它满足交换稳定性 。
事实上 ， 我们有如下的定理： 假定有若干赢的联盟 ， 那 么 任意交换之后 ， 得到新的联 盟 。
根据我们的做法 这说明左面的和式中至少有一个不小于 。
这就是证明 。

24、了定理 。
1982 年开始 ， 加拿大宪法修正案要成为法律的话 ， 需 要 10 个省中至少 7 个州通过 ， 而且通过这个修正案的 州还必须包含了至少一半的加拿大民众 。
爱德华王子州 (Prince Edward Island) 0% 纽芬兰与拉布拉多州 (Newfoundland) 2% 新不伦瑞克州 (New Blunswick) 2% 新斯科舍州 (Nova Skotia) 3% 萨斯喀彻温州 (Saskatchewan) 3% 马尼托巴州 (Manitoba) 4% 阿尔伯塔州 (Alberta) 11% 英属哥伦比亚州 (British Columbia) 13% 魁北克州 (Quebek)。

25、23% 安大略州 (Ontario) 39% 证明 Theorem加拿大宪法修正系统是对换稳健的 。
Theorem 加拿大宪法修正系统不是交换稳健的 。
爱德华王子州0% 纽芬兰与拉布拉多州2% 萨斯喀彻温州3% 马尼托巴州4% 阿尔伯塔州11% 英属哥伦比亚州13% 魁北克州23% 新不伦瑞克州2% 新斯科舍州3% 萨斯喀彻温州3% 马尼托巴州4% 阿尔伯塔州11% 英属哥伦比亚州13% 安大略州39% 对换不改变通过修正案的州的个数 ， 对于加 拿大公民人数的要求 ， 公民人数少的州与公 民人数多的州对调之后 ， 这个联盟的公民人 数只会增加 。
用左面的爱德华王子州和 拉布拉多州交换右面的安 大略州 ， 结 。

26、果左面仅剩六 个州 ， 而右面不满足公民 数的条件 ， 两个联盟都输 。
( ) 更加一般的概念是向量权的投票系统：每 一个投票人的权是一个非负向量 ， 限额也 是一个非负向量 。
将所有投赞成票的投票 人的权相加 ， 如果它达到或超过限额 指 的是每一个分量都大于等于限额的对应分 量， 那么方案就通过 ， 不然就否决 。
Theorem所有单调的 yes/no 系统都是向量权的投票 系统 。
权力是政治学中的一个中心问题 。
权力怎 样来度量？却不是一个显然的事情 。
EEC 总共有 17 票 ， 通过议案需要 12 票 。
看 上去卢森堡也有一票 ， 但是仔细考察的话 ，卢森堡的那一票实际是不起作用的 。
因为 所有其他的票都是偶数 ， 卢森堡 。

27、的票仅仅 将偶数变成奇数 ， 所以需要通过的话 ， 有 没有卢森堡那一票无关紧要 。
法国 联邦德国 意大利 荷兰 比利时 卢森堡 Vote s 444221 我们以后讨论的投票系统都假定是单调的 ， 空集是 输的联盟 ， 全集合是赢的 。
是所有投票人的集合 ， 我 们将这些投票人排一个序： 在这个序中 ， 投票人被称为是关键的 ，如果是输的 ， 而加上之 后的则是赢的 。

稿源：(未知)

【傻大方】网址：/a/2021/0816/0023746520.html

标题：数学|数学与民主政治( 四 )