1、數學和民主政治 l社会选择 l不可能性定理 lYes/No 投票 l政治权利 主要讨论的问题 一群面对着几个可能备选方案的人 ， 他 们需要做出决定 ， 在这些方案做出一个 选择 。
这就是一个社会选择的问题 ， 这 个问题的关键是将个人的偏好转化为一 个集体的选择 。
我们讲社会选择 ， 讲的就是上面的问题 。
l备选方案 (alternative)： l投票人 (voter)： 对于每一个投票人 ， 他会将自己对 所有备选方案的喜好排一个次序：最喜欢 的放在第一 ， 次喜欢的放第二 ， 最不喜欢 的排在最后 ， 不允许并列 。
l这样的一个排序叫做的选票 (ballot) 。
这里选票的意义与通常选票的意义不完全 一样 ， 它包含投票人 。

2、的全部信息 。
l将所有投票人的选票排列起来 ， 称作 profile 。
l社会选择 ， 指的是一个函数 (映射) 如果我们有了所有选举人的选票 ， 也就是 说有了一个 profile， 那么就是 我们的社会选择 。
上面所讲的社会选择 中是不允许出现并列的 ， 也就是说 ， 我们 一定要有一个结果 。
如果一个决策过程允许不出结果的话 ， 我 们也可以用函数 来表达 。
这里的表示 no winner 。
如果我们仅有两个备选方案 ， 那么通常的 方法是：每个人投票选出他们喜欢的方案 。
最后 ， 获得多数人支持的方案为他们的集 体选择 。
这叫做少数服从多数 。
对于两个备选方案 的情形 ， 这是最常见的决策方法 。
“”少数服从多数 原则到底具 。

3、有哪些性质使它成为一 种无需置疑的民主决策方法；是否还有其他具有同 样民主性质的社会选择？ 在这个情形中 ， 选票只需要列出最喜好的 就行 ， 没有列的那个自然就被排在后面 。
如果有个投票人 ， 那么 profile 就 是一个长度为的序列 。
这样 ， 我们 的社会选择 就是一个序列到的映射 。
1952 年 ， Kenneth May 证明了一个美妙的 定理 “” 对于两个备选方案、奇数个投票人的情形 ，少数服从多数 原则是满足如下三条性质 的唯一的社会选择方案： l匿名性：如果交换两个投票人的选票 ，那么结果不变； l中立性：如果每个投票人都改变自己的 偏好 ， 那么结果也反过来； l单调性：假定一个投票人选择的是落 。

4、选 的方案 ， 那么他改变自己的偏好不会改 变社会选择的结果 。
Theorem 匿名性：任意两投票人在决策过程中的权力相同；中 立性：备选方案的地位也是相同的；单调性：如果更 多的人赞同那个胜出方案的话 ， 将不会将结果改变 。
” “” 显然 ，少数服从多数 原则满足这三条性 质 ， 我们要证明的是它是唯一的 。
也就是 说 ， 如果还有别的满足这三条性质的社会 选择 ， 那么它的结果与 少数服从多数 的 结果一致 。
我们知道这个时候的社会选择函数是一个 长度为的序列到的映射 。
进一步 ， 匿名性允许我们将所有的排到 前面 。
也就是说 ， 映射仅仅与序列中的 个数有关 。
证明 单调性说如果 ， 那么 。
设是使的最小整数 ， 那么 最后 。

5、 ， 我们利用中立性 。
由 ， 我们得到， 也就是 说 。
另一方面 ， 所以 即 。
证明 ” ” 将两个不等式拼一起 ， 就有 在是奇数的情形 ，。
这就是 少数服从多数 原则 。
这个定理说 ， 当我们面对的仅有两个备选 方案的时候 ，少数服从多数 是一个完美 的民主决策过程 。
我们马上就会看到 ， 当 面对多于两个备选方案的时候 ， 情况变得 复杂多了 。
证明 普遍认为这个结果是因为 Javits 的支持者 分掉了 Holtzman 的票 。
事实上 ， 还有四位候选人参加了竞选 ， 但 是他们所获得的总票数不足 0.5% 。
DAmatoHoltzma n Javits 共和党民主党自由党 45%44%11% 我们并不知道选民们关于 。

6、三位候选人的全 部信息 ， 民意测验告诉我们 Javits 的支持 者中大约有 2/3 的人更加喜欢 Holtzman ，而不是 DAmato 。
所以假定 如果所有选民知道这些信息 ， 那么 Javits 的支持者们将按照他们的第二喜好来投票 。
这样一来 ， Holtzman 将以 51% 对 49% 战 胜 DAmato 。
当然所有选民都知道这些信息是不可能的 。
22%23%15%29%7%4% DDHHJJ HJDJHD JHJDDH 如果先在自由党人 Holtzman 与 Javits 之间 进行一次投票的话 ， 最后还是以 Holtzman 获得 51% 的选票胜出 。
不同的选举方式导致了不同的结果 ， 到 。

7、底 民意是什么？ 22%23%15%29%7%4% DDHHJJ HJDJHD JHJDDH b acb 如果我们面对多于两个备选方案的时候 ，我们可以一对方案一对方案地用少数服从 多数的原则进行比较 。

稿源：(未知)

【傻大方】网址：/a/2021/0816/0023746520.html

标题：数学|数学与民主政治