式左边的命题可表述成式左边的命题可表述成“存在一个 ， 能使存在一个 ， 能使()为真或者能使为真或者能使 ()为真为真”；右边的命题可表述成；右边的命题可表述成“存在使存在使()为真 ， 或者存在使为真 ， 或者存在使 ()为真为真” 。
显然 ， 这两个命题也是等价的 。
例如 ，。
显然 ， 这两个命题也是等价的 。
例如 ， “联欢会上有人联欢会上有人 唱歌或跳舞唱歌或跳舞”和和“联欢会上有人唱歌 ， 或有人跳舞联欢会上有人唱歌 ， 或有人跳舞”的意义相同 。
的意义相同 。
Peking Univ 。

44、ersity73 等价式和蕴含式(续) 6 6量词分配的蕴含式 ( x)A(x)( x)B(x) ( x)(A(x)B(x) ( x)(A(x)B(x) ( x)A(x)( x)B(x) 例如 ， 对式 ， 例如 ， 对式 ， “每一个人都唱歌或者每一个人都跳舞每一个人都唱歌或者每一个人都跳舞” ， 那么可以 ， 那么可以 说说“每一个人都唱歌或跳舞每一个人都唱歌或跳舞” 。
但反之不真 。
但反之不真 。
对式 ， 对式 ， “有人既唱歌又跳舞有人既唱歌又跳舞”永真蕴含永真蕴含“有人唱歌且有人跳舞有人唱歌且有人跳舞” 。
反之不真 。
反之不真 。
注意：全称量词 x x对于析取不服从分配律： ( x)(A(x)B(x) ( x)A(x)( 。

45、 x)B(x) 类似的情况是 ， 类似的情况是 ， 存在量词 对于合取不服从分配律： ( x)(A(x)B(x)( x)A(x)( x)B(x) Peking University74 推理定律 ( )( )( ( )( ) ( ( )( )( )( ) ( ( )( )( )( ) ( ( )( )( )( ) xA xxB xx A xB x x A xB xxA xxB x x A xB xxA xxB x x A xB xxA xxB x ()( )()( )( )( ) ()( )()( )()( )( ) ()( )( )()( )()( ) xA xxB xxA xB x x A xx。

46、B xxA xB x xA xB xx A xx B x 证明： 即： 因此（根据假言易位） Peking University75 一阶谓词逻辑等值式与蕴含式 命题公式的推广 在有限个体域中消去量词等值式 量词否定等值式 量词辖域收缩与扩张等值式 量词分配等值式 量词分配蕴含式 Peking University76 前束范式 定义定义：一个公式 ， 如果量词均在全式的开头 ，它们的作用域 ， 延伸到整个公式的末尾 ， 则称 该公式叫做前束范式 。
前束范式可记为如下形式前束范式可记为如下形式 ( (v v1 1)()(v v2 2).().(v vn n) ) 其中其中“”表示量词表示量词 或或， v。

47、v1 1 ， v v2 2 ， . ， v vn n是客体变元 ， 是客体变元 ，是不带量词的谓词公式 。
是不带量词的谓词公式 。
例如 ， 例如 ， ( ( x)(x)( y)(y)( z)z)（Q(x,y)R(z)Q(x,y)R(z)）是前束范式 。
是前束范式 。
Peking University77 定理 任意一个谓词公式 ， 均和一个前束范式等价 。
证明：首先利用量词转化公式可将否定深入到变元和谓证明：首先利用量词转化公式可将否定深入到变元和谓 词公式的前面 。
其次利用量词辖域扩张可将量词移到全词公式的前面 。
其次利用量词辖域扩张可将量词移到全 式的最前面 ， 这样便得前束范式 。
式的最前面 ， 这样便得前束范式 。
Peking U 。

48、niversity78 换名规则换名规则：将公式A中某量词辖域中出现的某 个约束出现的个体变元及相应的指导变元x ， 都 改成公式A中没出现过的y ( )( ,) ( )( ,) ( )( ,) ( )( ,) ( )( ,) ( ,)( ) xF xxG x y xF xxG x y xF xzG z y x F xzG z y xz F xG z y xz G z yF x 例 ： Peking University79 基本要素 中心 数理逻辑框架 Peking University80 小结 命题逻辑 命题和命题联结词 命题公式和真值表 命题等值式 命题推理定律 谓词逻辑 谓词的概念与量词 谓词公式与翻译 等价式、蕴含式 前束范式 Peking University81 作业 1. 用真值表证明以下等价式和蕴涵式 2. 不构造真值表证明1中各式 3. 把下列命题符号化 ， 并求前束范式 “所有运动员都钦佩某些教练” 4. 证明P7定律(3) x(A(x)B(x) xA(x) xB(x) ()() ) ( BAAAB bB P (A)(AB)(AB) a) A c) (PQ)PQ)。

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标题：第一编|第一编 集合论( 七 )