数学史上10个备受质疑的伟大时刻，却开辟了数学发展新的方向( 二 ) _数学发展史

芝诺的悖论被相信存在于形而上学的领域，它困扰了哲学家和数学家很久，但是如今可以用微积分来解释。而微积分学，这是古希腊人当时没有掌握的数学工具。
莫比乌斯带

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▲ 莫比乌斯环
有趣的莫比乌斯带，是由德国数学家、天文学家莫比乌斯和约翰·李斯丁在 1858 年独立发现的。它是一个只有面和一条边的曲面，常常被用来迷惑数学新生。
其实你也可以简单地做一个莫比乌斯带：拿一个纸条，扭一下然后把两端连接起来。
莫比乌斯带，作为第一个不可定向标准范例，也没有像其他那些发现那样动摇数学的基础，它反而是提供了很多实际应用，譬如一种从莫比乌斯带得到灵感的传送带能使用更长的时间，因为可以更好的利用整个带子，或者用于制造磁带，可以承载双倍的信息量。也启发了数学家们构想出更多不可定向曲面，譬如克莱因瓶。
它的命名很可能来自于一个双重巧合：德国数学家菲利克斯·克莱因提出这个概念，起初命名它为 Kleinsche Fl?che”(克莱因平面)，但后者发音与Flasche 很相似，而其发育在德语里的意思是“瓶”，后被广为流传，最终也沿用了“克莱因瓶”这种叫法。
康托尔的实数集合不可数解决无穷的难题已经够困难了，而康托尔在 1874 年证明了实际上有不同的无穷。尤其是证明了实数集合的不可数性，他证明了这个集合比自然数的现存无穷集要大一些。

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▲ 康托尔的对角线法论证说明存在不可数集。比如底部的序列不会出现在上述序列的无限列表中的任何位置。(图自维基)
1891年，康托尔给出了对角线法，通过一一对应的方法对无限集合的大小进行比较，并将能够彼此建立一一对应的集合称为等势，即可以被认为是“一样大”的。他引入了可数无穷的概念，用来指与自然数集合等势的集合，并证明了有理数集合是可数无穷，而实数集合不是可数无穷，这表明无穷集合的确存在着不同的大小，他称与实数等势（从而不是可数无穷）的集合为不可数无穷。对角线法是一种如此优雅的证明，后来被用作一种来证明悖论的工具。
罗素悖论伯特兰·罗素是一位数学家、哲学家、逻辑学家、历史学家、作家、社会批评家、政治活动家，以及，在我看来，一位值得学习的人物，能从他身上受到启发！
1901年，罗素发现时至当时已是完善建立的康托集合论存在一个有瑕疵的地方，这把他引向了一个矛盾：任给一个性质，满足该性质的所有集合总可以组成一个集合。但这样的企图将导致悖论。
罗素悖论的一个更为通俗的例子叫作“理发师悖论”，如下：有一个小城，它有这样一个规矩：凡是不给自己刮脸的人都要去找理发师刮脸。很尴尬的问题便是，那么谁来给理发师刮脸？
这个发现让罗素质疑传统集合论并开创了一个新的集合理论，比之后的策梅洛-弗兰克尔集合论还要复杂。
哥德尔不完备定理库尔特·哥德尔是奥匈帝国的一位逻辑学家、数学家和哲学家。他震撼了19世纪的数学与逻辑学，其最杰出的贡献是哥德尔不完备定理和连续统假设的相对协调性证明。

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▲ Kurt G?del, 摄于1925(图自维基)
我们正在讨论的二十世纪，人们不仅仅是想知道，而且还想知道有没有可能去了解并证明一个东西。人类想要了解宇宙，哥德尔在1931年发表了两个定理，统称哥德尔不完备定理。
解释技术细节和接受结论一样困难，正如哥德尔所证明的那样，考虑一个相容且完备的系统，比如算术语言，有些命题都是真但无法被证明。哥德尔受到说谎者悖论（“这句话不能被证明”）的启发，用了一个简单的描述展示了他定理的正确性。如果为真，那么这个命题是真且不能被证；如果为假，那么这个命题能被证明，而这又与初始描述“这不能被证”相悖。
这些对数学来说都是坏消息，因为剥夺了人们对于阐释绝对真理的原始欲望。同时，希尔伯特式对知识的探求再度席卷而来，用他的话说就是：“我们必须知道，我们将会知道” 。
塔斯基不可定义定理塔斯基受到了哥德尔的启发，于1936年证明了我们无法在算术系统中定义何谓“算术的真理” 。