数学与艺术的交集——分形之美 _分形

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分形，一个几何学专用名词，乍一看很高级，实际上，我们都能领略它的美丽。
首先，什么是分形呢？我们来看图1，这是网络上的一张分形图，远看可能只是几个螺旋，但是，走进了看，你会发现有大螺旋，还有各种小螺旋。更有趣的是，这些螺旋虽然大小不同，但是形状都是一样的，连整个图形的轮廓也有这个形状。数学上称之为相似。也就是说，把这张图片随意地放大或者缩小，都会看到一样的形状。这其实就是分形，它可以被分成几个部分，都有自相似性。虽然说看多了可能会有催眠的效果，但这确实有一种美感，吸引我们去研究。

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▲ 图1 朱利亚集合, 以法国数学家加斯顿·朱利亚的名字命名(图自维基)
既然说到相似比，那么我们来介绍一下它。如果说到两个图形是相似的，那么他们一定是形状相同，但是大小是不同的。要做到形状相同，那么它们的边一定是成比例的。
举个例子，两个三角形相似，记小三角形三边为 a,b,c，大三角形三边为 A,B,C，那么

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其中 k 是个常数，而大三角形与小三角形的相似比就为 k 。
关键的来了！研究分形，我们还需要引入一个概念，那就是豪斯多夫维数(Hausdorff dimension) 。维度这个词相信大家都不陌生，点为 0 维，线为 1 维，平面 2 维，空间 3 维。大多数人能认知的大概有这么 4 个，而且这 4 个维度在日常生活中一直存在。但是，我们有没有想过维度是怎么定义的呢？其实维度是过一个点能作多少条互相垂直的直线。在平面上，过一个点能作两条互相垂直的直线，如图2 。那么，在我们生活的三维空间呢，过一个点能作三条直线，如图3 。

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好，了解了维度是怎么来的之后，我们来了解一下豪斯多夫维数是怎么计算的。先来看图4，我们以相似比为 2 来切割第一条线段，最终得到两条线段，怎么算维数呢？怎么将相似比和分割的条数联系起来呢？维数这样计算出来，

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神奇吧！就是 1 维平面。我们来看图5，其中，有一个大正方形，我们按相似比为 2 来切割该正方形，最终，我们得到四个小正方形。维数即为

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而这个“2”就是我们所知的平面的维度。那对于三维空间呢？如图6所示，同样以 2 为相似比，将这个长方体分为 8 块，让我们再一次见证奇迹，维数为

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如此神奇，3 的确是维度。

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如此，我们得到维数的公式：

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其中 n 为相似比，k 为分块数。

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那么，我们来看一些经典的分形图案。如图7所示，为著名的科赫雪花，它的是在等边三角形基础上变形而成的，将每条边分为 3 份，以中间一边为等边三角形的一边，向外构造等边三角形，再将那条边擦掉，如此反复，便形成了如图7所示图案。

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▲ 图7 取曲线的1/4, 再放大3倍, 结果看上去和原来曲线一样
是时候计算豪斯多夫维数了，我们来看图7的右边的那张图，在红色椭圆的区域内，以3为相似比，分成4条边，那么它的豪斯多夫维数就是

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这令人难以理解，它能在平面中被画出，维度却小于2，这个现象十分有趣。所以，我们看问题不能太过于简单，要仔细地去证明。
那么为什么会出现分形维数呢？对于欧氏几何中的整形而言，只需长度，面积，体积就能做测量，且不管怎么处理图形，折叠也好，扭曲也好，它的维数是不会发生改变的。但是在分形中，这样研究，似乎有些困难，因为它不规则。就像这科赫雪花，表面粗糙，由线段构成，所以它大于 1 维。可惜它还到不了 2 维，所以只能是一个非整数维数。