2、M为含幺半群,证明b=a1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e 。
近世代数模拟试题四一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的 ， 请将其代码填写在题后的括号内 。
错选、多选或未选均无分 。
1.设集合A中含有5个元素 ， 集合B中含有2个元素,那么 ， A与B的积集合AB中含有（ ）个元素 。
A 。
2 B 。
5 C.7 D 。
102.设ABR(实数集) ， 如果A到B的映射:xx2 ， xR ， 则是从A到B的（ 。

20、 )A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D 。
既非单射也非满射3.设S3（1） ， (12） ， （13） ， （23) ， (123),（132) ， 那么 ， 在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ）A 。
（1) ， （123) ， (132）B.（12） ， (13）,（23)C.（1） ， （123)D 。
S3中的所有元素4 。
设Z15是以15为模的剩余类加群,那么 ， Z15的子群共有（ )个 。
A.2B 。
4C 。
6D 。
85.下列集合关于所给的运算不作成环的是（ ）A 。
整系数多项式全体Zx关于多项式的加法与乘法B.有理数域Q上的n级矩阵全体Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法C 。
整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：m ，nZ, 。

21、 mn0D 。
整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”:m ，nZ ，mn1二、填空题(本大题共10小题,每空3分 ， 共30分）请在每小题的空格中填上正确答案 。
错填、不填均无分.6 。
设“”是集合A的一个关系 ， 如果“”满足___________ ， 则称“”是A的一个等价关系.7 。
设（G ， )是一个群 ， 那么,对于a ， bG ， 则abG也是G中的可逆元,而且（ab)1___________ 。
8.设（23）(35）,（1243）(235）S5 ， 那么___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积) 。
9 。
如果G是一个含有15个元素的群 ， 那么 ， 根据Lagrange定理知,对于aG ， 则元素a的阶只可能是__ 。

22、_________ 。
10 。
在3次对称群S3中,设H(1) ， (123） ， （132）是S3的一个不变子群 ， 则商群G/H中的元素(12)H___________ 。
11 。
设Z60,1 ， 2 ， 3,4,5是以6为模的剩余类环 ， 则Z6中的所有零因子是___________ 。
12.设R是一个无零因子的环 ， 其特征n是一个有限数 ， 那么 ， n是___________ 。
13.设Zx是整系数多项式环,（x)是由多项式x生成的主理想,则（x)________________________ 。
14.设高斯整数环Ziabia ， bZ ， 其中i21 ， 则Zi中的所有单位是______________________ 。
15 。
有理数域Q上的 。

23、代数元+在Q上的极小多项式是___________.三、解答题（本大题共3小题 ， 每小题10分,共30分)16 。
设Z为整数加群 ， Zm为以m为模的剩余类加群,是Z到Zm的一个映射,其中：kk ， kZ ， 验证：是Z到Zm的一个同态满射 ， 并求的同态核Ker 。
17 。
求以6为模的剩余类环Z60 ， 1 ， 2,3 ， 4 ， 5的所有子环,并说明这些子环都是Z6的理想 。
18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系 ， 并举例说明唯一分解环未必是主理想环.四、证明题（本大题共3小题 ， 第19、20小题各10分,第21小题5分 ， 共25分）19 。
设Ga ， b ， c ， G的代数运算“由右边的运算表给出 ， 证明：(G ， ）作成一个群.abc 。

24、aabcbbcaccab20.设已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环.证明：I是R的一个子环 ， 但不是理想 。
21.设（R ， ）是一个环 ， 如果(R ， ）是一个循环群 ， 证明：R是一个交换环 。
近世代数模拟试题一 参考答案一、单项选择题.1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题（本大题共10小题 ， 每空3分 ， 共30分) 。
1、;
2、单位元;
3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构；7、零、a ;
8、S=I或S=R ；9、域；三、解答题（本大题共3小题 ， 每小题10分 ， 共30分）1、解:把和写成不相杂轮换的乘积：可知为奇置换 ， 为偶置换 。
和可以写成如下对换的乘积：2、解：设A是任意方阵 ， 令 ， 则B是对称 。

25、矩阵,而C是反对称矩阵,且.若令有,这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵 ， 则 ， 而等式左边是对称矩阵 ， 右边是反对称矩阵,于是两边必须都等于0,即: ， 所以,表示法唯一 。
3、答:（ ， ）不是群 ， 因为中有两个不同的单位元素0和m.四、证明题（本大题共2小题 ， 第1题10分 ， 第2小题15分 ， 共25分）1、对于G中任意元x ， y ， 由于 ， 所以（对每个x,从可得） 。
2、证明在F里有意义 ， 作F的子集显然是R的一个商域 证毕.近世代数模拟试题二 参考答案一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 。

来源：(未知)

【学习资料】网址：/a/2021/0321/0021738785.html

标题：完整|(完整word版)近世代数期末考试题库(包括模拟卷和1套完整题)( 四 )