45、连通空间 （ ）理由：这是因为若设是中的一个既开又闭的非空真子集 ， 令 ， 则都是中的非空闭子集 ， 它们满足 ， 易见是隔离子集 ， 所以拓扑空间是一个不连通空间.四、证明题(共40分).1、 设是拓扑空间的一个连通子集 ，证明： 如果和是的两个无交的开集使得 ， 则或者 ， 或者. （7分)证明:因为是的开集 ， 从而是子空间的开集.又因中 ， 故 4分由于是的连通子集,则中必有一个是空集. 若 ， 则;
若,则 2、设X是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X不满足第一可数性公理 。
(7分）证明:若满足第一可数公理 ， 则在处,有一个可数的邻域基,设为V x， 因为X是有限补空间 ， 因此对,是 的一个开邻域,从而 ,使得 。
于是 ，。

46、 由上面的讨论我们知道：因为是一个不可数集 ， 而是一个可数集 ， 矛盾.3、设是空间的一个收敛序列 ， 证明:的极限点唯一 。
(7分）证明：若极限点不唯一 ， 不妨设 ， ,其中 ， 由于是空间 ， 故和各自的开邻域 ， 使得 。
因,故存在 ， 使得当时 ， ;
同理存在 ， 使得当时 ，。
令 ， 则当时 ， 从而,矛盾 ， 故的极限点唯一 。
4、设是Hausdorff空间 ， 是连续映射 。
证明是的闭子集 。
（7分)证明：对于 ， 则 ， 从而有互不相交的开邻域和 ， 设 ，则是的开邻域 ， 并且 ， 故是开集 ， 从而是闭集 。
5、设是两个拓扑空间 ， 是一个连续映射.如果是一个紧致空间,证明是的一个紧致子集. （7分）证明：设C是的一个由中的开集构成的覆盖.对于任意,是中的一个 。

47、开集 ， 由于 ， 从而有：所以是的开覆盖.由于是紧致空间 ， 所以A 有一个有限子覆盖 ， 设为 。
4分因为 ， 从而 ， 即是C 的一个子族并且覆盖 ， 因此是的一个紧致子集 。
6、设为Hausdorff空间， 是一个连续映射, 且证明:是的闭集 证明：对,则 ， 由于是Hausdorff空间 ， 存在和的邻域,使得.又因为连续,故存在的邻域 ， 使得,令 ， 则是的邻域,且. 事实上 ， 若存在使得 ， 即使得 。
于是,而 ， 这样,矛盾 。
所以 ， 即是闭集 。
结尾处 ， 小编送给大家一段话 。
米南德曾说过 ， “学会学习的人 ， 是非常幸福的人” 。
在每个精彩的人生中,学习都是永恒的主题 。
作为一名专业文员教职 ， 我更加懂得不断学习的重要性 ， “人生在勤 ， 不索何获” ， 只 。

48、有不断学习才能成就更好的自己 。
各行各业从业人员只有不断的学习 ， 掌握最新的相关知识 ， 才能跟上企业发展的步伐 ， 才能开拓创新适应市场的需求.本文档也是由我工作室专业人员编辑 ， 文档中可能会有错误,如有错误请您纠正 ， 不胜感激！At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said ，people who learn to learn are very happy people. 。
In every wonderful life ，learning is an eternal theme 。
As a professional clerical 。

49、 and teaching position ，I understand the importance of continuous learning ，”life is diligent, nothing can be gained ，only continuous learning can achieve better self 。
Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge ，can employees from all walks of life keep up with the pace。

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