39、每一个映射叫做中的一个序列 。
2、空间一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基 ， 则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间 ， 简称为空间 。
3、正则空间：设是一个拓扑空间,如果中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域 ， 它们互不相交 ， 则称是正则空间.4、紧致空间设是一个拓扑空间 。
如果的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖 ， 则称拓扑空间是一个紧致空间.5、同胚映射设和是两个拓扑空间.如果是一个一一映射 ， 并且和都是连续映射 ， 则称是一个同胚映射或同胚.四、证明题（每小题6分,共30分）1、设是从连通空间到拓扑空间的一个连续映射 。
则是的一个连通子集.证明：如果是的一个不连通子集 ， 则存在 。

40、的非空隔离子集使得 3分于是是的非空子集 ， 并且：所以是的非空隔离子集 此外 ， 这说明不连通 ， 矛盾 。
从而是的一个连通子集 。
6分2、设X是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X不满足第一可数性公理.证明：若满足第一可数公理,则在处,有一个可数的邻域基,设为V x ,因为X是可数补空间 ， 因此对,是的一个开邻域 ， 从而 ,使得 。
于是 ，3分由上面的讨论我们知道：因为是一个不可数集 ， 而是一个可数集 ， 矛盾.从而X不满足第一可数性公理 。
6分3、设是空间的一个收敛序列 ， 证明:的极限点唯一.证明：若极限点不唯一 ， 不妨设 ， 其中 ， 由于是空间 ， 故和各自的开邻域 ， 使得 。
因,故存在,使得当时 ， ；同理存在 ， 使得当时 ， . 。

41、3分令 ， 则当时, ， 从而,矛盾 ， 故 的极限点唯一 。
6分4、证明空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点 ， 则它一定是一个不可数集.证明:设是空间中的一个连通子集 ， 如果不只包含一个点 ， 任意选取 。
对于空间中的两个无交的闭集 ， 应用Urysohn引理可见 ， 存在一个连续映射 ， 使得和.3分由于是的一个连通子集,从而连通,由于 ， 所以,由于是一个不可数集,所以也是一个不可数集 。
6分5、设是一个正则空间,是的一个紧致子集, 。
证明:如果,则也是的一个紧致子集.证明：设A是任意一个由X中的开集构成的Y的覆盖 ， 因此A也是A的一个覆盖 ， 由于A是X的紧致子集 ， 从而A有有限个成员使得 。
3分由于A是正则空间的紧致子集 ， 从 。

42、而A有一个开邻域,使得,从而有 ， 从而A有有限子覆盖,因此Y是X的一个紧致子集 。
6分点集拓扑试题样卷B一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分 ， 共18分）1、已知,下列集族中 ，是上的拓扑. （ ） 2、已知 ， 拓扑,则是 ( ） 3、在实数空间R中给定如下等价关系:或者或者设在这个等价关系下得到的商集,则的商拓扑是 （ ） 4、下列拓扑学的性质具有可遗传性的是 （ ）连通性 正则 正规5、设 ， ,则是 （ ） 空间 空间 空间 6、下列拓扑学的性质具有有限可积性的是 （ ） 连通性 紧致性 正则性 可分性1、 2、 3、 4、 5、 6、 二、简答题(每题4分,共32分）1、 写出同 。

43、胚映射的定义.设和是两个拓扑空间.如果是一个一一映射 ， 并且和都是连续映射 ， 则称是一个同胚映射.2、什么是不连通空间？设是一个拓扑空间 ， 如果中有两个非空的隔离子集 ， 使得 ， 则称是一个不连通空间.3、什么是正则空间？设是一个拓扑空间 ， 如果中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域 ， 它们互不相交 ， 则称是正则空间.4、写出紧致空间的定义.设是一个拓扑空间 。
如果的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖 ， 则称拓扑空间是一个紧致空间.5、写出可分空间的定义设是一个拓扑空间 ， 若有一个可数稠密子集 ， 则称是一个可分空间 。
6、写出列紧空间的定义.设是一个拓扑空间. 如果的每一个无限子集都有凝聚点,则称拓扑空 。

44、间是一个列紧空间 。
7、写出导集的定义 。
设是一个拓扑空间 ， 集合的所有凝聚点构成的集合称为 的导集.8、写出Urysohn引理的内容 。
设X 是一个拓扑空间 ， 是一个闭区间 。
则是一个正规空间当且仅当对于中任意两个无交的闭集和 ， 存在一个连续映射,使得当时和当时 。
三 、判断下列各题的正误, 正确的打,错误的打 ， 并说明理由 (每题 5分 ， 其中判断2分 ， 理由3 分,本题共10分)1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射 （ ）理由：设是离散空间 ， 是拓扑空间 ， 是连续映射 ， 因为对任意 ， 都有 ， 由于中的任何一个子集都是开集 ， 从而是中的开集 ， 所以是连续的.2、若拓扑空间中存在一个既开又闭的非空真子集 ， 则是一个不 。

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标题：完整|(完整word版)近世代数期末考试题库(包括模拟卷和1套完整题)( 七 )