8、用比较审敛法审敛时 ， 需要适当地选取一个已知其收敛性的级数作为比较的基准.最常选用做基准级数的是等比级数和p-级数.定理4 (比值审敛法, 达朗贝尔判别法) 若正项级数的后项与前项之比值的极限等于 ， 即,则当时级数收敛;
当 (或)时级数发散;
当时级数可能收敛也可能发散.例4 判别级数收敛性. 解 因为,根据比值审敛法可知 ， 所给级数收敛.例5 判别级数的收敛性.解 因为,根据比值审敛法可知,所给级数发散.定理5 (根值审敛法, 柯西判别法)设是正项级数, 如果它的一般项的n次根的极限等于 ， 即,则当时级数收敛;
当 (或)时级数发散;
当时级数可能收敛也可能发散.定理6（极限审敛法）设为正项级数 ， （ 。

9、1）如果（或） ， 则级数发散；（2）如果 ， 而（） ， 则级数收敛.证明 （1）在极限形式的比较审敛法中 ， 取 ， 由调和级数发散 ， 知结论成立.（2）在极限形式的比较审敛法中 ， 取 ， 当时 ， p-级数收敛 ， 故结论成立.例6 判定级数的收敛性.解 因 ， 故 ， 根据极限审敛法 ， 知所给级数收敛.2.2 交错级数及其审敛法则下列形式的级数称为交错级数. 交错级数的一般形式为, 其中.定理7（莱布尼茨定理）如果交错级数满足条件: (1) ;
(2) , 则级数收敛, 且其和, 其余项的绝对值.证明 设前项部分和为 ， 由,及 ， 看出数列单调增加且有界, 所以收敛. 设, 则也有,所以 ， 从而级数是收敛的, 且. 因为|也是收敛的交错级 。

10、数, 所以.2.3 绝对收敛与条件收敛对于一般的级数：若级数收敛 ， 则称级数绝对收敛；若级数收敛 ，而级数发散, 则称级数条件收敛.级数绝对收敛与级数收敛有如下关系：定理8 如果级数绝对收敛, 则级数必定收敛.证明 令.显然且 .因级数收敛 ， 故由比较审敛法知道 ， 级数 ， 从而级数也收敛.而 ， 由收敛级数的基本性质可知： ， 所以级数收敛.定理8表明 ， 对于一般的级数 ， 如果我们用正项级数的审敛法判定级数收敛 ， 则此级数收敛.这就使得一大类级数的收敛性判定问题 ， 转化成为正项级数的收敛性判定问题.一般来说 ， 如果级数发散, 我们不能断定级数也发散. 但是, 如果我们用比值法或根值法判定级数发散, 则我们可以断定级数必 。

11、定发散. 这是因为, 此时|un|不趋向于零, 从而也不趋向于零, 因此级数也是发散的.例7 判别级数的收敛性. 解 因为|, 而级数是收敛的, 所以级数也收敛, 从而级数绝对收敛. 例8 判别级数（为常数）的收敛性. 解 因为,所以当时 ， 级数均收敛；当时 ， 级数绝对收敛；当时 ， 级数发散.习题7-21. 用比较审敛法判定下列级数的收敛性：（1）； （2）；（3） ； （4）；（5）.2. 用比值审敛法判定下列级数的敛散性:（1）;
（2）;
（3） ;
（4）.3. 判定下列级数的敛散性:（1）;
（2）;
（3） ;
（4）;
（5）.4. 判定下列级数是否收敛？若收敛 ， 是绝对收敛还是条件收敛？（1 。

12、）;
（2）;
（3） ;
（4）.第3节 幂级数3.1 函数项级数的概念 给定一个定义在区间I 上的函数列, 由这函数列构成的表达式,称为定义在区间上的(函数项)级数, 记为.对于区间内的一定点, 若常数项级数收敛, 则称点是级数的收敛点. 若常数项级数发散, 则称点是级数的发散点. 函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所有发散点的全体称为它的发散域.在收敛域上, 函数项级数的和是的函数, 称为函数项级数的和函数, 并写成. 函数项级数的前项的部分和记作, 即.在收敛域上有.函数项级数的和函数与部分和的差叫做函数项级数的余项. 并有.3.2 幂级数及其收敛性函数项级数中简单而常见的一 。

13、类级数就是各项都是幂函数的函数项级数, 这种形式的级数称为幂级数, 它的形式是,其中常数叫做幂级数的系数.定理1（阿贝尔定理) 对于级数 ， 当时收敛, 则适合不等式的一切x使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数当时发散, 则适合不等式的一切使这幂级数发散.证 先设是幂级数的收敛点, 即级数收敛. 根据级数收敛的必要条件,有, 于是存在一个常数, 使.这样级数的的一般项的绝对值.因为当时, 等比级数收敛, 所以级数收敛, 也就是级数绝对收敛. 定理的第二部分可用反证法证明. 倘若幂级数当时发散而有一点适合使级数收敛, 则根据本定理的第一部分, 级数当时应收敛, 这与所设矛盾. 定理得证.推论 如果 。

14、级数不是仅在点一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的正数存在, 使得当时, 幂级数绝对收敛;

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标题：大学高等数学第四篇无穷级数( 二 )