21、二项起是交错级数 ，如果取前项和作为的近似值, 则其误差(也叫做截断误差)可算得为了使误差不超过, 只要取其前两项作为其近似值即可. 于是有.例7 利用 求的近似值, 并估计误差. 解 首先把角度化成弧度,(弧度)(弧度),从而 .其次, 估计这个近似值的精确度. 在的幂级数展开式中令, 得.等式右端是一个收敛的交错级数, 且各项的绝对值单调减少. 取它的前两项之和作为的近似值, 起误差为.因此取 , .于是得， 这时误差不超过.例8 计算定积分的近似值, 要求误差不超过（取）. 解 将的幂级数展开式中的换成, 得到被积函数的幂级数展开式.于是, 根据幂级数在收敛区间内逐项可积, 得 .前四项 。

22、的和作为近似值, 其误差为,所以.例9 计算积分的近似值, 要求误差不超过. 解 因为.所以对上式逐项积分得=.上面级数为交错级数 ， 所以误差 ， 经试算 ， .所以取前三项计算 ， 即.4.2.2 欧拉公式设有复数项级数为（7-4-1）其中 为实常数或实函数.如果实部所成的级数（7-4-2）收敛于和 ， 并且虚部所成的级数（7-4-3）收敛于和 ， 就说级数（1）收敛且其和为.如果级数（7-4-1）各项的模所构成的级数收敛 ， 则称级数（7-4-1）绝对收敛.如果级数（1）绝对收敛 ， 由于那么级数（7-4-2） ， （7-4-3）绝对收敛 ， 从而级数（7-4-1）收敛.考察复数项级数（7-4-4）可以证明级数（7-4-4）在 。

23、整个复平面上是绝对收敛的.在轴上它表示指数函数 ， 在整个复平面上我们用它来定义复变量指数函数 ， 记作 ， 于是定义为（7-4-5）当时 ， 为纯虚数 ， （7-4-5）式成为把换写为 ， 上式变为（7-4-6）这就是欧拉公式.应用公式（7-4-6） ， 复数可以表示为指数形式：（7-4-7）其中是的模 ， 是的辐角在（7-4-6）式中把换成 ， 又有与（7-4-6）相加、相减 ， 得（7-4-8）这两个式子也叫做欧拉公式.（7-4-6）式或（7-4-8）式揭示了三角函数与复变量指数函数之间的一种联系.最后 ， 根据定义式（7-4-5） ， 并利用幂级数的乘法 ， 我们不难验证 .特殊地 ， 取为实数 ， 为纯虚数 ， 则有这就是说 ， 复变量指数函数在处的 。

24、值是模为、辐角为的复数.习题7-41.将下列函数展开成的幂级数 ， 并求展开式成立的区间：（1） ;
（2）;
（3）;
（4）;
（5）;
（6）.2.将函数展开成的幂级数.3.将函数展开成的幂级数.4.利用函数的幂级数展开式求的近似值（误差不超过0.0001）5.利用欧拉公式将函数展开成的幂级数.第5节 傅里叶级数5.1三角级数 三角函数系的正交性正弦函数是一种常见而简单的周期函数.例如描述简谐振动的函数,就是一个以为周期的正弦函数 ， 其中表示动点的位置 ， 表示时间 ， 为振幅 ， 为角频率 ， 为初相.在实际问题中 ， 除了正弦函数外 ， 还会遇到非正弦函数的周期函数 ， 它们反应了较复杂的周期运动.如电子技术中常用的周期 。

25、为的矩形波,就是一个非正弦周期函数的例子.为了深入研究非正弦周期函数 ， 联系到前面介绍过的用函数的幂级数展开式表示和讨论函数,我们也想将周期为的周期函数用一系列以为周期的正弦函数组成的级数来表示 ， 记为（7-5-1）其中 都是常数.将周期函数按上述方式展开 ， 它的物理意义是很明确的 ， 这就是把一个比较复杂的周期运动看作是许多不同频率的简谐振动的叠加.在电工学上 ， 这种展开称为是谐波分析.其中常数项称为是的直流分量；称为一次谐波；而,依次称为是二次谐波 ， 三次谐波 ， 等等.为了以后讨论方便起见 ， 我们将正弦函数按三角公式变形 ， 得=+ ， 并且令 ， 则（1）式右端的级数就可以改写为（7-5-2）形如（7-5-2）式的级 。

26、数叫做三角级数 ， 其中都是常数.令（7-5-2）式成为（7-5-3）这就把以为周期的三角级数转换为以为周期的三角级数.下面讨论以为周期的三角级数（7-5-3）.我们首先介绍三角函数系的正交性.三角函数系: （7-5-4）在区间上正交 ， 就是指在三角函数系（7-5-4）中任何不同的两个函数的乘积在区间上的积分等于零 ， 即, , , , .三角函数系中任何两个相同的函数的乘积在区间上的积分不等于零, 即, , .5.2 函数展开成傅里叶级数设是周期为的周期函数, 且能展开成三角级数: . （7-5-5）那么系数与函数之间存在着怎样的关系?假定三角级数可逐项积分, 则=类似地 ， 可得, , .系数 叫做函数 。

27、的傅里叶系数.由于当时 ， 的表达式正好给出 ， 因此 ， 已得结果可合并写成（7-5-6）将傅里叶系数代入（5）式右端 ， 所得的三角级数叫做函数的傅里叶级数.一个定义在上周期为的函数, 如果它在一个周期上可积, 则一定可以作出的傅里叶级数. 然而, 函数的傅里叶级数是否一定收敛? 如果它收敛, 它是否一定收敛于函数? 一般来说, 这两个问题的答案都不是肯定的.定理1 （收敛定理, 狄利克雷充分条件) 设是周期为的周期函数, 如果它满足: 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点, 在一个周期内至多只有有限个极值点, 则的傅里叶级数收敛, 并且当是的连续点时, 级数收敛于;

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标题：大学高等数学第四篇无穷级数( 四 )