当时, 幂级数发散;
当与时, 幂级数可能收敛也可能发散.正数通常叫做幂级数的收敛半径. 开区间叫做幂级数的收敛区间. 再由幂级数在处的收敛性就可以决定它的收敛域. 幂级数的收敛域是或、之一.若幂级数只在收敛, 则规定收敛半径 , 若幂级数对一切都收敛, 则规定收敛半径, 这时收敛域为.定理2 如果, 其中、是幂级数的相邻两项的系数, 则这幂级数的收敛半径.证明 .(1) 如果, 则只当时幂级数收敛, 故. (2) 如果, 则幂级数总是收敛的, 故. (3) 如果, 则只当时幂级 。

15、数收敛, 故.例1 求幂级数 的收敛半径与收敛域. 解 因为,所以收敛半径为. 即收敛区间为.当时, 有 ， 由于级数收敛 ， 所以 级数在时也收敛.因此, 收敛域为. 例2 求幂级数=的收敛域. 解 因为,所以收敛半径为, 从而收敛域为. 例3 求幂级数的收敛半径. 解 因为,所以收敛半径为, 即级数仅在处收敛. 例4 求幂级数的收敛半径. 解 级数缺少奇次幂的项, 定理2不能应用. 可根据比值审敛法来求收敛半径: 幂级数的一般项记为. 因为,当即时级数收敛;
当即时级数发散, 所以收敛半径为.3.3 幂级数的运算设幂级数及分别在区间及内收敛, 则在与中较小的区间内有加法: .减法: .乘法: .。

16、除法: 关于幂级数的和函数有下列重要性质：性质1 幂级数的和函数在其收敛域上连续.性质2 幂级数的和函数在其收敛域上可积, 并且有逐项积分公式,逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数的和函数在其收敛区间内可导, 并且有逐项求导公式,逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.例6 求幂级数的和函数. 解 求得幂级数的收敛域为. 设和函数为, 即, .显然. 在的两边求导得：.对上式从到积分, 得.于是, 当时, 有. 从而.提示: 应用公式, 即. .习题7-31求下列幂级数的收敛区间（1） ； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）.2. 。

17、 利用逐项求导法或逐项积分法 ， 求下列级数的和函数（1） ;
（2）.第4节 函数展开成幂级数4.1函数展开成幂级数给定函数, 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”, 就是说, 是否能找到这样一个幂级数, 它在某区间内收敛, 且其和恰好就是给定的函数. 如果能找到这样的幂级数, 我们就说,函数能展开成幂级数, 而该级数在收敛区间内就表达了函数.如果在点的某邻域内具有各阶导数 ， 则当时, 在点的泰勒多项式成为幂级数这一幂级数称为函数的泰勒级数.显然, 当时,的泰勒级数收敛于.需要解决的问题: 除了外, 的泰勒级数是否收敛? 如果收敛, 它是否一定收敛于? 定理 设函数在点的某一邻域内具有各阶导 。

18、数, 则在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是的泰勒公式中的余项当时的极限为零, 即 .证明 先证必要性. 设在内能展开为泰勒级数, 即, 又设是的泰勒级数的前项的和,则在内.而的阶泰勒公式可写成 ， 于是. 再证充分性. 设对一切成立. 因为的阶泰勒公式可写成, 于是 ， 即的泰勒级数在内收敛, 并且收敛于.在泰勒级数中取, 得,此级数称为的麦克劳林级数.要把函数展开成的幂级数 ， 可以按照下列步骤进行：第一步 求出的各阶导数: . 第二步 求函数及其各阶导数在处的值: .第三步 写出幂级数,并求出收敛半径R. 第四步 考察在区间(内时是否. 是否为零. 如果, 则在内有展开式.例1 试将函数展开成 。

19、的幂级数. 解 所给函数的各阶导数为, 因此.得到幂级数,该幂级数的收敛半径. 由于对于任何有限的数(介于0与之间), 有,而, 所以, 从而有展开式.例2 将函数展开成的幂级数. 解 因为, 所以顺序循环地取, 于是得级数,它的收敛半径为. 对于任何有限的数(介于0与之间), 有.因此得展开式.例3 将函数展开成x的幂级数, 其中为任意常数. 解 的各阶导数为所以 且于是得幂级数.以上例题是直接按照公式计算幂级数的系数 ， 最后考察余项是否趋于零.这种直接展开的方法计算量较大 ， 而且研究余项即使在初等函数中也不是一件容易的事.下面介绍间接展开的方法 ， 也就是利用一些已知的函数展开式 ， 通过幂级数的运算 。

20、以及变量代换等 ， 将所给函数展开成幂级数.这样做不但计算简单 ， 而且可以避免研究余项.例4 将函数展开成的幂级数. 解 已知.对上式两边求导得.例5 将函数展开成的幂级数. 解 因为, 而是收敛的等比级数的和函数: .所以将上式从0到逐项积分, 得.上述展开式对也成立, 这是因为上式右端的幂级数当时收敛, 而在处有定义且连续.常用展开式小结: ,4.2 幂级数的展开式的应用4.2.1 近似计算有了函数的幂级数展开式 ， 就可以用它进行近似计算 ， 在展开式有意义的区间内 ， 函数值可以利用这个级数近似的按要求计算出来.例6 计算的近似值(误差不超过). 解 因为, 所以在二项展开式中取, , 即.这个级数从第 。

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标题：大学高等数学第四篇无穷级数( 三 )