当是的间断点时, 级数收敛于.由 。

28、定理可知 ， 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低得多 ， 若记 ， 在上就成立的傅里叶级数展开式. （7-5-7）例1 设是周期为的周期函数, 它在上的表达式为 ， 将展开成傅里叶级数. 解 所给函数满足收敛定理的条件, 它在点 处不连续, 在其它点处连续, 从而由收敛定理知道的傅里叶级数收敛, 并且当时收敛于,当时级数收敛于. 傅里叶系数计算如下: ;
1-(-1)n .于是的傅里叶级数展开式为.例2 设是周期为的周期函数, 它在上的表达式为.将展开成傅里叶级数.解 所给函数满足收敛定理的条件, 它在点 处不连续, 因此, 的傅里叶级数在处收敛于.在连续点处级数收敛于. 傅里叶系数计算如下: ;
。

29、 .的傅里叶级数展开式为.设只在上有定义, 我们可以在或外补充函数的定义, 使它拓广成周期为的周期函数, 在内, .按这种方式拓广函数的定义域的过程称为周期延拓.例3 将函数展开成傅里叶级数. 解 所给函数在区间上满足收敛定理的条件, 并且拓广为周期函数时, 它在每一点处都连续, 因此拓广的周期函数的傅里叶级数在上收敛于. 傅里叶系数为: ;
.于是的傅里叶级数展开式为.5.3 正弦级数和余弦级数对于周期为的函数 ， 它的傅里叶系数计算公式为, , .由于奇函数在对称区间上的积分为零 ， 偶函数在对称区间上的积分等于半区间上积分的两倍 ， 因此 ， 当为奇函数时,是奇函数, 是偶函数, 故傅里叶系数为,.因此奇 。

30、函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数. 当为偶函数时, 是偶函数, 是奇函数, 故傅里叶系数为,bn=0 .因此偶数函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数.例4 设是周期为的周期函数, 它在-p, p)上的表达式为 将展开成傅里叶级数. 解 首先, 所给函数满足收敛定理的条件, 它在点 不连续, 因此的傅里叶级数在函数的连续点收敛于, 在点收敛于.其次, 若不计), 则是周期为的奇函数. 于是, 而.的傅里叶级数展开式为.设函数定义在区间上并且满足收敛定理的条件, 我们在开区间内补充函数的定义, 得到定义在上的函数, 使它在上成为奇函数(偶函数). 按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延 。

31、拓(偶延拓). 限制在上, 有.例5 将函数分别展开成正弦级数和余弦级数. 解 先求正弦级数. 为此对函数进行奇延拓. ,函数的正弦级数展开式为.在端点及处, 级数的和显然为零, 它不代表原来函数的值. 再求余弦级数. 为此对进行偶延拓. ,.函数的余弦级数展开式为.5.4周期为的周期函数的傅里叶级数我们所讨论的周期函数都是以为周期的. 但是实际问题中所遇到的周期函数, 它的周期不一定是. 怎样把周期为的周期函数展开成三角级数呢？ 问题: 我们希望能把周期为的周期函数展开成三角级数, 为此我们先把周期为的周期函数变换为周期为的周期函数. 令及, 则是以为周期的函数. 这是因为.于是当 满足收敛 。

32、定理的条件时, 可展开成傅里叶级数: ,其中, (n=0, 1, 2, ), .从而有如下定理: 定理2 设周期为的周期函数满足收敛定理的条件, 则它的傅里叶级数展开式为,其中系数an , bn 为,.当为奇函数时, ,其中.当为偶函数时, , 其中 .例6 设是周期为4的周期函数, 它在上的表达式为(常数).将展开成傅里叶级数. 解 这里. ;
.于是.例7 将函数展成周期为4的余弦函数.解 对进行偶延拓. 则,故 习题7-51. 下列函数周期都为 ， 试求其傅里叶级数展开式：（1） ;
（2） .2. 将函数 展开成傅里叶级数.3. 将函数 展开成正弦级数和余弦级数.4. 将函数 展开成傅里叶级 。

33、数.第6节 级数的应用6.1级数在经济上的应用6.1.1乘子效应设想联邦政府通过一项消减100亿美元税收的法案 ， 假设每个人将花费这笔额外收入的93% ， 并把其余的存起来 。
试估计消减税收对经济活动的总效应 。
因为消减税收后人们的收入增加了 ， 亿美元将被用于消费 。
对某些人来说 ， 这些钱变成了额外的收入 ， 它的93%又被用于消费 ， 因此又增加了亿美元的消费 ， 这些钱的接受者又将花费它的93% ， 即又增加了亿美元的消费 。
如此下去 ， 消减税收后所产生的新的消费的总和由下列无穷级数给出：这是一个首项为 ， 公比为的几何级数 ， 此级数收敛 ， 它的和为：亿美元即消减100亿美元的税收将产生的附加的消费大约为亿美元.此例描述了乘子效应( 。

34、the multiplier effect).每人将花费一美元额外收入的比例称作“边际消费倾向”(the marginal to consume),记为.在本例中 ， 正如我们上面所讨论的 ， 消减税收后所产生的附加消费的总和为：附加消费的总和=消减税额 ,消减十二乘以乘子就是它的实际效应.6.1.2投资费用问题设初始投资为,年利率为,年重复一次投资.这样第一次更新费用的现值为,第二次更新费用的现值为,以此类推,投资费用为下列等比数列之和：.例1 建钢桥的费用为元,每隔年需要油漆一次 ， 每次费用为元,桥的期望寿命为年；建造一座木桥的费用为元,每隔年需要油漆一次 ， 每次的费用为元,其期望寿命为年 ， 若年利率为 。

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标题：大学高等数学第四篇无穷级数( 五 )