1、第四篇 无穷级数第七章 无穷级数 无穷级数是高等数学课程的重要内容 ， 它以极限理论为基础 ， 是研究函数的性质及进行数值计算方面的重要工具. 本章首先讨论常数项级数 ， 介绍无穷级数的一些基本概念和基本内容 ， 然后讨论函数项级数 ， 着重讨论如何为将函数展开成幂级数和三角级数的问题 ， 最后介绍工程中常用的傅里叶级数.第1节 常数项级数的概念与性质1.1常数项级数的概念一般的 ， 给定一个数列 则由这数列构成的表达式叫做（常数项）无穷级数, 简称（常数项）级数, 记为, 即,其中第项叫做级数的一般项.作级数的前项和称为级数的部分和. 当n依次取1,2,3时 ， 它们构成一个新的数列 ， 根据这个数列有没有极限 ， 我们引进无穷级 。

2、数的收敛与发散的概念 。
定义 如果级数的部分和数列有极限, 即, 则称无穷级数收敛, 这时极限叫做这级数的和, 并写成;
如果没有极限, 则称无穷级数发散.当级数收敛时, 其部分和是级数的和的近似值, 它们之间的差值叫做级数的余项.例1 讨论等比级数（几何级数）(a0)的敛散性.解 如果, 则部分和.当时, 因为, 所以此时级数收敛, 其和为. 当时, 因为, 所以此时级数发散. 如果, 则当时, , 因此级数发散;
当时, 级数成为,因为随着为奇数或偶数而等于或零, 所以的极限不存在, 从而这时级数发散. 综上所述, 如果, 则级数收敛, 其和为;
如果, 则级数发散. 例2 判别无穷级数的收敛 。

3、性. 解 由于,因此,而， 故该级数发散.例3 判别无穷级数的收敛性. 解 因为 ,所以,从而,所以这级数收敛, 它的和是1. 1.2 收敛级数的基本性质根据无穷级数收敛、发散的概念 ， 可以得到收敛级数的基本性质.性质1如果级数收敛于和, 则它的各项同乘以一个常数所得的级数也收敛, 且其和为.证明 设与的部分和分别为与, 则,这表明级数收敛, 且和为.性质2 如果级数、分别收敛于和、, 则级数也收敛, 且其和为.证明 如果、的部分和分别为、 ，则.性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性. 比如, 级数是收敛的;
级数也是收敛的;
级数也是收敛的.性质4 如果级数收敛, 则对这 。

4、级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变. 应注意的问题: 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数（1-1)+（1-1) + 收敛于零, 但级数1-1+1-1+ 却是发散的. 推论 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散.性质5 如果收敛, 则它的一般项趋于零, 即. 证明 设级数的部分和为, 且, 则.注: 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件.例6 证明调和级数是发散的. 证明 假若级数收敛且其和为, 是它的部分和. 显然有及. 于是. 但另一方面, ,故, 矛盾. 这矛盾说明级数必定发散. 习题7-11. 写出下列级数的前 。

5、四项:（1） ； （2）.2. 写出下列级数的一般项（通项）:（1） ； （2）；（3）. 3. 根据级数收敛性的定义 ， 判断下列级数的敛散性:（1） ;
（2）.4. 判断下列级数的敛散性:（1） ;
（2）;
（3） （4）.第2节 常数项级数的收敛法则2.1 正项级数及其收敛法则现在我们讨论各项都是正数或零的级数 ， 这种级数称为正项级数.设级数 （7-2-1）是一个正项级数 ， 它的部分和为.显然 ， 数列是一个单调增加数列 ， 即：如果数列有界 ， 即总不大于某一常数 ， 根据单调有界的数列必有极限的准则 ， 级数（7-2-1）必收敛于和 ， 且. 反之 ， 如果正项级数（7-2-1）收敛于和.根据有极限的数列是有界数列的 。

6、性质可知 ， 数列有界. 因此 ， 有如下重要结论：定理 1 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界.定理2 (比较审敛法) 设和都是正项级数, 且 . 若级数收敛, 则级数收敛;
反之, 若级数发散, 则级数发散.证明 设级数收敛于和, 则级数的部分和即部分和数列有界, 由定理1知级数收敛. 反之, 设级数发散, 则级数必发散. 因为若级数收敛, 由上已证明的结论, 将有级数也收敛, 与假设矛盾.推论 设和都是正项级数, 如果级数收敛, 且存在自然数N, 使当时有成立, 则级数收敛;
如果级数发散, 且当时有成立, 则级数发散.例1 讨论p-级数的收敛性, 其中常数. 解 设. 这时, 而调 。

7、和级数发散, 由比较审敛法知, 当时级数发散. 设. 此时有.对于级数, 其部分和.因为. 所以级数收敛. 从而根据比较审敛法的推论1可知, 级数当时收敛. 综上所述, p-级数当时收敛, 当时发散.例2 证明级数是发散的. 证明 因为, 而级数是发散的, 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的.定理3 （比较审敛法的极限形式)设和都是正项级数, 如果, 则级数和级数同时收敛或同时发散. 证明 由极限的定义可知, 对, 存在自然数N, 当时, 有不等式, 即. 再根据比较审敛法的推论1, 即得所要证的结论.例3 判别级数的收敛性. 解 因为, 而级数发散, 根据比较审敛法的极限形式, 级数发散. 。

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标题：大学高等数学第四篇无穷级数