级排列 。
为一个设nii i n 21 ),2 , 1(nii j 考虑元素 个 ， 的逆序是那么 ji tj 个 ， 前面的元素有 jj ti 大 ， 且排在如果比 j i 全全体体元元素素 n j j t 1 例例2 N(n(n-1)321) N(135(2n-1)(2n)(2n-2) 42) =0+1+2+(n-1)=n(n-1)/2 =2+4+(2 。

10、n-2)=n(n-1) 证明：证明： 19 对换：对换： 对换在一个排列对换在一个排列i1isit in中 ， 若其中某中 ， 若其中某 两数两数is和和it互换位置互换位置, 其余各数位置不变得到另一其余各数位置不变得到另一 排列排列i1itis in,这种变换称为一个对换这种变换称为一个对换, 记为记为 ( is it). 例例3 )43( 1243 0125NNNN )31( 3421 )42( 1423 1234 定理定理1.1：任一排列经过一个对换后奇偶性改变 。
任一排列经过一个对换后奇偶性改变 。
20 对换在相邻两数间发生对换在相邻两数间发生 ， 即 ， 即 设排列设排列 jk (1) 经经j,k对 。

11、换变成对换变成 kj (2) 此时 ， 排列此时 ， 排列(1)、(2)中中j,k与其他数与其他数是否构成逆序的情形未是否构成逆序的情形未 发生变化；而发生变化；而j与与k两数两数构成逆序的情形有变化：构成逆序的情形有变化： 若若(1)中中jk构成逆序构成逆序,则则(2)中不构成逆序中不构成逆序(逆序数减少逆序数减少1) 若若(1)中中jk不构成逆序不构成逆序,则则(2)中构成逆序中构成逆序(逆序数增加逆序数增加1) 一般情形一般情形 设排列设排列 ji1isk (3) 经经j,k对换变成对换变成 k i1is j (4) 易知 ， 易知 ， (4)可由可由(3)经一系列相邻对换得到：经一系列相邻对换得到：。

12、k经经s+1次相邻对换成为次相邻对换成为 kj i1is j经经s次相邻对换成为次相邻对换成为 ki1is j 即经即经2s+1次相邻对换后次相邻对换后(3) 成为成为 (4). 相邻对换改变排列的奇偶相邻对换改变排列的奇偶 性 ， 奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变性 ， 奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变. | 定理定理1.21.2个个排排列列 ， 个个数数码码共共有有 !nn ,一一半半 其其中中奇奇偶偶排排列列各各占占 . 2 !n 各各为为 22 思考练习思考练习（排列的逆序数详解）（排列的逆序数详解） 方法方法1 在排列在排列x1x2xn中 ， 任取两数中 ， 任取两数xs和和xt(st), 则它们必 。

13、在排列则它们必在排列x1x2xn或或xnxn-1x1中构成逆序 ， 中构成逆序 ，且只能在其中的一个排列中构成逆序且只能在其中的一个排列中构成逆序.又在排列又在排列 x1x2xn中取两数的方法共有中取两数的方法共有 依题意 ， 有依题意 ， 有 2 )1( )!2( ! 2 !2 nn n n Cn 故排列故排列 x1x2xn 与与 xnxn-1x1 中逆序之和为中逆序之和为 2 )1( nn . I 2 ) 1( )( 11 nn xxxN nn 此即此即 方法方法2 23 n个数中比个数中比i大的数有大的数有n- - i个个(i=1,2,n),若在排列若在排列 x1x2xn中对中对i构成的逆序为构成的 。

14、逆序为li个个,则在则在xnxn-1x1中对中对i构构 成的逆序为成的逆序为(n- - i)- -li,于是两排列中对于是两排列中对i构成的逆序之和构成的逆序之和 为为 li+(n-in-i)- -li= n- -i (i=1,2,n) 2 ) 1( 12)2() 1( )()( 1121 nn nn xxxNxxxN nnn 从而 此即此即 . I 2 ) 1( )( 11 nn xxxN nn （二）（二）n阶行列式定义阶行列式定义 24 分析：分析： (i)每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的 乘积构成 ， 除符号外可写为乘积构成 ， 除符号外可写 。

15、为 (ii)符号为符号为 322311332112312213 322113312312332211 333231 232221 131211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaa aaa aaa 321 321jjj aaa “+” 123 231 312 （偶排列）（偶排列） “- -” 321 213 132 （奇排列）（奇排列） )( 321 ) 1( jjjN (iii)项数为项数为 3！=6 321 321 321 )( ) 1( jjj jjjN aaa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 322113312312332211 aaaaaa 。

16、aaa 322311332112312213 aaaaaaaaa 231123 213 312 0 132321 2 3 1 2 1 321 321jjj aaa )( )( 321 1 jjjN 321 jjj取遍所有的取遍所有的 三级排列三级排列 2221 1211 aa aa 21122211 aaaa 1221 0 1 21 21jj aa )( )( 21 1 jjN 21 jj 12取取 21和和 n推广之推广之 ， 有如下 ， 有如下n 阶行列式定义阶行列式定义 26 定义：定义： 是所有取自不同行、不同列是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积个元素的乘积 n njjj aaa 21 2 。

17、1 并冠以符号并冠以符号 的项的和的项的和. )( 21 ) 1( n jjjN nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 n n njjj jjjN aaa 21 21 21 )( ) 1( )( ij aDet 记 (i) 是是取自不同行、不同列的取自不同行、不同列的n个元素的乘积；个元素的乘积； (ii)行标按自然顺序排列 ， 列标排列的奇偶性行标按自然顺序排列 ， 列标排列的奇偶性 决定每一项的符号；决定每一项的符号； (iii) 表示对所有的表示对所有的 构成的构成的n！个排列求和个排列求和. n njjj aaa 21 21 n jjj 21 )( 21n 。

稿源：(未知)

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标题：线性代数|线性代数-行列式(完整版)( 二 )