50、nn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余 子式的乘积之和 ， 即子式的乘积之和 ， 即 ), 2 , 1( ), 2 , 1( 2211 2211 njAaAaAaD niAaAaAaD njnjjjjj ininiiii 或或 证证 71 (i)D的第一行只有元素的第一行只有元素a11 0 ， 其余元素均为零其余元素均为零,即即 nnnn n aaa aaa a D 21 22221 11 00 上上式式中中第第二二项项得得零零） 由由定定义义 () 1( ) 1() 1( )(。

51、2 )( 11 1 21 )( 1 21 )( 32 2 2 1 21 21 1 21 21 n n n n n n n jjj njj jj j njjj jjj j njjj jjj aaa aaaaaa 1111M a 而而 A11=(-1)1+1M11=M11 ,故故D= a11A11 ;
72 (ii)当当D的第的第i行只有元素行只有元素aij 0时 ， 即时 ， 即 nnnjn ij nj aaa a aaa D 1 1111 00 将将D中第中第i行依次与前行依次与前i-1行对调行对调,调换调换i-1次后位于第次后位于第1行行 D中第中第j列依次与前列依次与前j-1列对调列对调,调换调换 。

52、j-1次后位于第次后位于第1列列 经经(i-1)+(j-1)= i+j-2次对调后次对调后, aij 位于第位于第1行、第行、第1列列,即即 (iii) 一般地一般地 ijijijij ji ijij ji AaMaMaD )1()1( 2 由由 (i) 73 nnnn inii n aaa aaa aaa D 21 21 11211 000000 nnnn in n nnnn i n nnnn i n aaa a aaa aaa a aaa aaa a aaa 21 11211 21 2 11211 21 1 11211 000000 ininiiii AaAaAa 2211 由由(ii)。

53、njnjjjjj AaAaAaD 2211 同理有同理有 定理定理1.5 n阶行列式阶行列式 74 nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的 代数余子式的乘积之和为零 ， 即代数余子式的乘积之和为零 ， 即 )(0 )(0 2211 2211 tjAaAaAa siAaAaAa ntnjtjtj sninsisi 或或 证证 75 考虑辅助行列式考虑辅助行列式 ). 2211 tjAaAaAa ntnjtjtj t （ 列展开列展开按第按第 0= nnjnjn njj njj a 。

54、aaa aaaa aaaa D 21 22221 11111 1 t列j列 例例2 2 计算行列式计算行列式 76 132 020 321 D 解解 132 020 321 D 131211 1 321AAA 行行展展开开按按第第 )4(30221 132 020 321 D 232221 2 020AAA 行行展展开开按按第第 32 20 )1(3 12 00 )1(2 13 02 )1(1 312111 12 31 )1(2 22 法法1 法法2 选取选取“0” 多多 的行或列的行或列 )5(2 10 10 2021-8-9 阜阳师范学院数学与 计算科学学院 :3例例 5021 0113。

55、2101 4321 D求求 :1解解 24232221 2101AAAAD 242321 2AAA 化化为为仅仅有有一一个个非非零零元元列列先先将将行行列列式式中中某某一一行行解解)(:2 242321 2MMM 5021 0113 2101 4321 D )1( 9300 5021 0113 2101 021 113 101 300 )3( 按按第第二二行行展展开开将将D 5 3 1 0 13 3A 521 313 101 3 2021-8-9 5021 3113 1101 0300 13 3M )8(3 24 仅仅有有一一个个非非零零元元；列列用用性性质质化化此此行行列列选选择择某某行行) 。

56、()(2 ,)(. 1依依此此类类推推化化成成低低一一阶阶行行列列式式展展开开列列按按一一行行 的方法：的方法：利用展开式计算行列式利用展开式计算行列式注注： .,二二阶阶直直至至三三阶阶 .)( ， 依依此此类类推推展展开开化化为为低低一一阶阶行行列列式式列列而而后后按按此此行行 例例4 讨论当讨论当 为何值时 ， 为何值时 ，79 1100 110 0 002 002 k D k k 解解 12kk 且时 k 21 1100 110 0110 02 002 02 002 k k rrk kD k k 按第一列展开 所以当论所以当论，2 (1)(4)kk 0D 例例5 求证求证 80 证明：证明 。

57、：首先从第首先从第1行起 ， 每行减去下一行 ， 然行起 ， 每行减去下一行 ， 然 后按第后按第1列展开 ， 之后又从第列展开 ， 之后又从第1行起每行减去行起每行减去 下一行 ， 化为下三角行列式即得结果 ， 即下一行 ， 化为下三角行列式即得结果 ， 即 .) 1( 11 311 2211 13211 4321 21 nn n x xxx nxx nx n n D 81 1 2, 01111 01111 00111 00011 11 ii nin rr x x D x xxx 1 111111 111111 011111 ( 1) 001111 000011 000011 n x x x x 按第1列展开 82 1 12 2, 。

58、1 00000 10000 01000 ( 1)100100 00000 000011 ii nn in x xx xx rr xxx x x n+1 （） 例例6 已知已知4阶行列式阶行列式 83 . .32 . 5215 3412 0813 1711 13121144342414 的代数余子式的代数余子式 为为其中其中的值的值及及求求 ij ij a AAAAAAAA D 解解法法1.,)4 , 3 , 2 , 1( 4 然后相加（略）然后相加（略）的值的值直接计算直接计算 iAi 法2 利用行列式的按列展开定理 ， 简化计算利用行列式的按列展开定理 ， 简化计算. 0 1215 1412 181 。

59、3 1711 1111 4434241444342414 AAAAAAAA 84 .493 313 2556 5151 3130 25560 5111 390 015 5139 3105 015 51390 31050 0150 0321 5215 3412 0813 0321 32 13 12 2 131211 rr rr AAA 例例7 证明范得蒙行列式（证明范得蒙行列式（Vandermonde) 85 .)()( )2()( 111 1 1 11 2 1 1 21 的乘积的乘积（表示所有可能的表示所有可能的其中其中ijxxxx nxx xxx xxx D ji nij ji nij ji 。

稿源：(未知)

【傻大方】网址：/a/2021/0819/0023818072.html

标题：线性代数|线性代数-行列式(完整版)( 六 )