18、 jjjN 2 ( ,1,2, ) ij nai jnn个元素排成的 阶行列式 例例1 证明证明下三角行列式下三角行列式 27 证：证： 由定义由定义 nn nnnnn aaa aaaa aaa aa a D 2211 321 333231 2221 11 0 00 000 时时 ， 1, 2, 1, 121 jjnjnj nn 和式中和式中,只有当只有当 n n njjj jjjN aaaD 21 21 21 )( ) 1( 0 21 21 n njjj aaa nnnn nN aaaaaaD 22112211 )123( ) 1(所以所以 下三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积下三角行列 。

19、式的值等于其主对角线上各元素的乘积 . D nn n n n a aa aaa aaaa 000 00 0 333 22322 1131211 nn a a a a 000 000 000 000 33 22 11 nn aaa 2211 0 ii a), 2 , 1(ni nn aaa 2211 其中其中 :特殊情况特殊情况对角形行列式对角形行列式 同理可得同理可得上三角形行列式上三角形行列式 例例2 计算计算 29 000 000 000 000 1 2 1 n n D 解解 11,21 )321)1( )1( nnn nnN aaaD n nn 21 2 )1( )1( 由行列式定义由行 。

20、列式定义, 时时 ， 1, 2, 1, 121 nn jjnjnj 0 21 21 n njjj aaa 和式中仅当和式中仅当 n n njjj jjj aaaD 21 21 21 )( )1( 注： 2 )1( ) 1( nn nn nn njjnjj jjjjN aaaa 121 121 121 )( )1( 000 00 0 1 1211 122221 1111211 n nn n nn a aa aaa aaaa nnnnnn nnnnn nn n aaaa aaa aa a 121 11112 212 1 0 00 000 1121nnn aaa 类似可得类似可得 例3用行列式的定义来计 。

21、算行列式 ij a )4 , 3 , 2 , 1,(ji 解 1100 0010 0101 1010 设 1100 0010 0101 1010 级级排排列列所所有有的的 取取遍遍 4 4321 )( 4321 4321 4321 )1( jjjj jjjj jjjjN aaaa 43 a 14 a 32 a 21 a )4123( )1( N )1( 3 1 1 0100 1110 1010 0111 练习： 级级排排列列所所有有 取取遍遍 4 4321 4321 4321 4321 1 jjjj jjjj jjjjN aaaa )( )( 34 a 1 11 a ij a 43 a )12 。

22、43( )1( N 22 a 4311 aa 32 a 24 a )1423( )1( N 1 0 kji, 例例4 ij a 4213425 )1452()432( )1( kji jNkiN aaaaa 应为何值应为何值 ，符号是什么？ 此时该项的此时该项的 ,3j解此时 5,1ki1,5ki或 (1), 5, 1, 3kij)52314()14325(NN 若则 9 取负号 (2) 若 , 1, 5, 3kij 则 )52314()54321(NN 16 取正号 若若是五阶行列式是五阶行列式 的一项 ， 则的一项 ， 则 例例5用行列式定义计算 x x x xx 111 123 111 212。

23、中中的的系系数数 ， 并并说说明明理理由由与与中中 34 xx 解： )( )( 1234 1 N xxx 1 xxxx )(2 4 2x )( )( 2134 1 N 3 x 由于数的乘法满足交换律 ， 故而行列式各项中由于数的乘法满足交换律 ， 故而行列式各项中 n 个元素的顺序可以任意交换个元素的顺序可以任意交换.一般 ， 可以证明一般 ， 可以证明 34 定理定理1.3: n阶行列式阶行列式D=Det (aij) 的项可以写为的项可以写为 nn nn jijiji jjjNiiiN aaa 2211 2121 )()( ) 1( niii iiiN n n aaaD 21 )( 21 21 ) 1( 其中 。

24、其中i1i2in和和j1 j2 jn都是都是n级排列级排列 . nn nn jijiji jjjNii iN aaaD 2211 2121 )()( ) 1( 或或 另一定义形式另一定义形式 另一定义形式另一定义形式 n推论推论:n阶行列式阶行列式D=Det (aij) 的值为的值为 4.转置行列式转置行列式 35 则则, 21 22221 11211 nnnn n n aaa aaa aaa D . 21 22212 12111 nnnn n n T aaa aaa aaa D n定义：定义：如果将行列式如果将行列式D的行换为同序数的列 ， 得的行换为同序数的列 ， 得 到的新行列式称为到的新行列式 。

25、称为D的的转置行列式转置行列式 ， 记为 ， 记为DT. .即若即若 36 用定义计算用定义计算 000 000 000. 2 000 1000 0200 0010 . 1 55 44 33 22222 11111 ba ba ba edcba edcba n n 0. 2 !)1( 21)1(. 1 1 )123( D n nD n n 思考练习思考练习 （n阶行列式定义）阶行列式定义） 答答 案案 1.3 行列式的性质行列式的性质 37 对多对多“0 0”的或是阶数较低的或是阶数较低( (二、三阶二、三阶) )的的 行列式利用定义计算较为容易行列式利用定义计算较为容易, , 但对一般但对一般 的、 。

26、高阶的（的、高阶的（n n 4 4）行列式而言）行列式而言, ,直接利用直接利用 定义计算很困难或几乎是不可能的定义计算很困难或几乎是不可能的 . . 因而因而 需要讨论行列式的性质 ， 用以简化计算需要讨论行列式的性质 ， 用以简化计算. . 返回返回 性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.（D=DT） 38 证：证：事实上事实上,若记若记 DT=Det(bij),则则), 2 , 1,(njiab jiij n n njjj jjjT bbbD 21 21 21 )( )1( Daaa niii iii n n 21 )( 21 21 )1( . 0 00 21 222 。

27、1 11 nnnn aaa aa a D nn nn n n T aaa a aa aaa DD 2211 222 12111 00 0 解解 例例1 计算行列式计算行列式 性质性质2 互换行列式的两行互换行列式的两行(rirj)或列或列(cicj) ， 行列 ， 行列 式的值变号式的值变号 . 39 推论推论 若行列式若行列式D的两行（列）完全相同的两行（列）完全相同,则则D=0 . 性质性质3 1112111121 11212 1212 nn iiiniiin nnnnnnnn aaaaaa Dkakakak aaakD aaaaaa 推论推论 (1) D中行列式某一行（列）的所有元素的因中行列式 。

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标题：线性代数|线性代数-行列式(完整版)( 三 )