1、第1章 行列式 行列式是线性代数的一个重要组行列式是线性代数的一个重要组 成部分成部分. .它是研究矩阵、线性方程组、它是研究矩阵、线性方程组、 特征多项式的重要工具特征多项式的重要工具. .本章介绍了本章介绍了n n 阶行列式的定义、性质及计算方法 ， 阶行列式的定义、性质及计算方法 ，最后给出了它的一个简单应用最后给出了它的一个简单应用克克 莱姆法则莱姆法则. . 第第1 1章章 行列式行列式 2 n n阶行列式的定义阶行列式的定义 行列式的性质行列式的性质 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开 克莱姆法则克莱姆法则行列式的一个简单应用行列式的一个简单应用 数学实验数学实验 第第1.1节节 。

2、 n阶行列式的定义阶行列式的定义 3 本节从二、三阶行列式出发 ， 给本节从二、三阶行列式出发 ， 给 出出n阶阶行列式的概念行列式的概念. . 基本内容：基本内容： 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式 排列及其逆序数排列及其逆序数 n阶行列式定义阶行列式定义 转置行列式转置行列式 返 回 4 即即 21122211 2221 1211 aaaa aa aa 称其为称其为二阶行列式二阶行列式 . 2221 1211 aa aa 记号：记号： 21122211 aaaa 它表示数：它表示数： 称为它的元素 。
（数)2 , 1,jiaij 排称为行 ， 今后对任何行列式 ， 横,竖竖排排称称为为列列 , 称称为为列列 。

3、标标称称为为行行标标中中jiaij ij a,列元素行第表示第ji 左上角到右下角表示左上角到右下角表示主对角线主对角线 ，例 23 15 例 设, 13 2 D (1)当 为何值时 ，(2)当 为何值时 , 0 D . 0 D 解 13 2 D 03 2， 0 3 或 25 31 )(13 2 3 右上角到左下角表示右上角到左下角表示次对角线次对角线 ，例3 求二阶行列式 2 1 b a (2)三阶行列式三阶行列式 7 322311332112312213 322113312312332211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa 记号记号 333231 232221 131211 aaa 。

4、 aaa aaa 即即 称为称为三阶行列式三阶行列式. 它表示数它表示数 8 322311332112312213 322113312312332211 333231 232221 131211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaa aaa aaa 可以用可以用对角线法则对角线法则来记忆如下来记忆如下. 9 322311332112312213 322113312312332211 333231 232221 131211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaa aaa aaa 主对角线法主对角线法 例例4 计算三阶行列式计算三阶行列式 10 解解:由主对角线法 ， 有由主对角线 。

5、法 ， 有 14 243 122 421 D 411)2()2(2)3(2)4( 4)2()4()3(12)2(21 D 48243264 例5 601 504 321 301 120 101 26 321 )1(10 601 )1(52 043 051 642 )1(03 4810 58 101 001 )1(21 300 8 例6 ,Rba 满足什么条件时有 101 0 0 ab ba 101 0 0 ab ba 解 由题可得 ， 即使 , 0 22 ba ba, ,Rba . 0 ba 0 ba即时 ， 给定的行列式为零 0 2 a 2 b 例7 114 01 01 a a 的充分必要条件是什么？。

6、解 114 01 01 a a 01 2 a 1 a 1 a 或 0 114 01 01 a a 1 a 或 1 a 0 2 a1 练习练习：计算下列行列式 140 053 101 1 11 22 xxx x 1 11 22 xxx x 解 )1( 2 xx)1(x 1 2 x 1 3 x 2 x 140 053 101 1517431 1.排列及其逆序数排列及其逆序数 15 (1)排列排列 由自然数由自然数1,2,n,组成的一个有序数组组成的一个有序数组i1i2in 称为一个称为一个n级排列级排列. 如：由如：由1,2,3可组成的三级排列有可组成的三级排列有3！=6个：个： 123 132。

7、213 231 312 321 （总数为（总数为 n!个）个） 注意注意:上述排列中只有第一个为自然顺序上述排列中只有第一个为自然顺序(小小大大),其其 他则或多或少地破坏了自然顺序他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相元素大小与位置相 反反)构成构成逆序逆序. 1.2 n1.2 n阶行列式阶行列式 (2)排列的逆序数排列的逆序数 16 定义：定义： 在一个在一个n 级排列级排列i1i2in中 ， 若某两数的前中 ， 若某两数的前 后位置与大小顺序相反后位置与大小顺序相反,即即isit(ts),则称这两数构则称这两数构 成一个成一个逆序逆序.排列中逆序的总数排列中逆序的总数,称为它的逆序数 ， 称 。

8、为它的逆序数 ，记为记为N (i1i2in). =3 =2例例1 N (2413) N(312) (2)排列的逆序数排列的逆序数 17 定义：定义： 在一个在一个n 级排列级排列i1i2in中 ， 若某两数的前中 ， 若某两数的前 后位置与大小顺序相反后位置与大小顺序相反,即即isit(ts),则称这两数构则称这两数构 成一个成一个逆序逆序.排列中逆序的总数排列中逆序的总数,称为它的逆序数 ， 称为它的逆序数 ，记为记为N (i1i2in). n奇偶排列奇偶排列: 若排列若排列i1i2in的逆序数为的逆序数为奇（偶）数 ， 奇（偶）数 ，称它为称它为奇（偶）排列奇（偶）排列. =3 =2例例1 N (2413 。

9、) N(312) 逆序数的计算方法逆序数的计算方法 )( 21n ii iN 1 n t 1 t 即 n t 的的自自然然数数 ， 至至不不妨妨设设元元素素为为n1并并规规定定从从小小到到大大 的逆序数 ， 逆序之和就是 n ii i 21 为为标标准准次次序序 。

稿源：(未知)

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标题：线性代数|线性代数-行列式(完整版)