60、 n n nn n n 证证 结论正确；结论正确；时时, 11 ,2 12 21 2 xx xx Dn 用数学归纳法用数学归纳法 假设对假设对n-1阶范德蒙行列式结论成立 ， 以下考阶范德蒙行列式结论成立 ， 以下考 虑虑 n 阶情形阶情形. 86 1 21 1 2 3 1 31 2 2 1 2 1 2 13 2 312 2 2 11312 2,.,1, 0 0 0 1111 11 xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxx n n n n nnnn nn n rxr nni ii 11 2 1 1 21 111 n n nn n n xxx xxx D 87 1 23 1 2 222 23 。

61、 111 () n n i i nnn n xxx xx xxx 按第 列展 提取公因子 nij ji xx 1 )( )()()(0 )()()(0 0 1111 1 2 13 2 312 2 2 1133122 11312 xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxx n n n nn nn n 例例8 计算行列式计算行列式 88 642781 16941 4321 1111 D 481840 12620 3210 1111 1 2, 3 , 4 ii rr i D 解解1 36100 620 321 12 13 2 4 rr rr 48184 1262 321 126072 36 。

62、10 62 计算时 ， 性质与按行（列）展开定理结合使用计算时 ， 性质与按行（列）展开定理结合使用. 89 222 333 1111 1234 = 1234 1234 D 解解2 利用范德蒙行列式的结论利用范德蒙行列式的结论 =(2 1)(3 1)(4 1)(32)(42)(43)=12 例例9 计算计算n阶行列式阶行列式 90 000 1000 0200 0010 )2( 000 000 000 000 )1( n n D xy yx yx yx D nn 解解 111121211 1 1 (1) nn n a Aa Aa AD 按第列展开 yx y yx y y x yx yx yx x n 0 。

63、00 0000 000 0000 )1( 0000 000 000 000 )1( 111 nnn yx 1 )1( 91 !)1( 1000 0200 0020 0001 )1( 11 n n n n nn 1121211111 1 nn AaAaAa 列展开列展开按第按第 000 1000 0200 0010 )2( n n Dn 解解 思考练习思考练习 （按行展开定理）按行展开定理） 92 计算行列式计算行列式 10000 1000 1000 1000 10000 . 2 001 000 000 100 . 1 1 32 21 1 1 n nn nn a aa aa aa a D a a 。

64、 a a D 思考练习思考练习（按行展开定理详解（按行展开定理详解1） 93 0000 0000 0000 10000 ) 1(1 0000 0000 0000 0000 ) 1(. 1 111 1 a a a a a a a aD n n 列列展展按按第第 a a a a a nnn 0000 0000 0000 0000 )1()1( )1(11 2212 )1( nnnnn aaaa 思考练习思考练习（按行展开定理详解（按行展开定理详解2） 94 10000 1000 1000 1000 100000 . 2 1 32 21 1 1 2 1 n nn rr n a aa aa aa n。

65、D n i i n n n nn n aaan a aa aa aa n 21 1 32 21 )1(1 1 )1()1( 0000 000 000 000 )1()1( 行行展展按按第第 2 2* *. .拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）定理）定理 95 k阶子式阶子式 在在n阶行列式中 ， 任意选定阶行列式中 ， 任意选定k行、行、k列列 （1kn）位于这些行列交叉处的）位于这些行列交叉处的k2个元素按原来个元素按原来 顺序构成的一个顺序构成的一个k阶行列式阶行列式N ， 称为行列式 ， 称为行列式D的一个的一个 k阶子式阶子式. k阶子式阶子式N的余子式及代数余子式的余子式及代数余子式 在在D中划去 。

【线性代数|线性代数-行列式(完整版)】66、中划去k行、行、 k列后 ， 余下的元素按原来顺序构成的一个列后 ， 余下的元素按原来顺序构成的一个n-k阶行阶行 列式列式M ， 称为 ， 称为k阶子式阶子式N的余子式的余子式;
而而 MA kk jjjiii)()( 2121 ) 1( 为其代数余子式为其代数余子式.这里这里i1,i2,ik, j1, j2, jk分别为分别为 k阶子阶子 式式N的行标和列标的行标和列标. 96 在在n阶行列式阶行列式 中 ， 中 ，nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）定理）定理 任意取定任意取定k行行(1 k n),由这由这k行元素组成的行元素组成的k阶子式阶子式N1, N2 ,V t 与它们的代数余子式与它们的代数余子式 的乘积之和的乘积之和 等于等于D ， 即 ， 即 )( k n Ct tt ANANAND 2211 .的代数余子式的代数余子式是是其中其中 ii NA 97 例例7 7 计算行列式计算行列式 1500 3100 0043 0021 D 解解 665544332211 21 ANANANANANAND 行行展展、按按第第 .3215 。

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标题：线性代数|线性代数-行列式(完整版)( 七 )