因个码组是线性无关的 。
因 此它们可以用来构成此循环码的生成矩阵此它们可以用来构成此循环码的生成矩阵G 。
G 34560123456 aaaaaaaaaaaA 67 n在循环码中除全在循环码中除全“0”码组外 ， 再没有连续码组外 ， 再没有连续k位均为位均为“0”的码的码 组 。
否则 ，。

47、在经过若干次循环移位后将得到组 。
否则 ， 在经过若干次循环移位后将得到k位信息位全为位信息位全为 “0” ， 但监督位不全为 ， 但监督位不全为“0”的一个码组 。
这在线性码中显的一个码组 。
这在线性码中显 然是不可能的 。
然是不可能的 。
n因此 ， 因此 ， g(x)必须是一个常数项不为必须是一个常数项不为“0”的的(n - k)次多项式 ， 次多项式 ，而且这个而且这个g(x)还是这种还是这种(n, k)码中次数为码中次数为(n k)的唯一一个的唯一一个 多项式 。
因为如果有两个 ， 则由码的封闭性 ， 把这两个相多项式 。
因为如果有两个 ， 则由码的封闭性 ， 把这两个相 加也应该是一个码组 ， 且此码组多项式的次数将小于加也应该是一个码组 。

48、 ， 且此码组多项式的次数将小于(n k) ， 即连续 ， 即连续“0”的个数多于的个数多于(k 1) 。
显然 ， 这是与前面的结 。
显然 ， 这是与前面的结 论矛盾的 。
论矛盾的 。
n我们称这唯一的我们称这唯一的(n k)次多项式次多项式g(x)为码的生成多项式 。
一为码的生成多项式 。
一 旦确定了旦确定了g(x) ， 则整个 ， 则整个(n, k)循环码就被确定了 。
循环码就被确定了 。
68 n因此 ， 循环码的生成矩阵因此 ， 循环码的生成矩阵G可以写成可以写成 n例：例： 上表中的编码为上表中的编码为(7, 3)循环码 ， 循环码 ， n = 7, k = 3, n k = 4 ，其中唯一的一个其中唯一的一个(n k) = 4次码多项式代表 。

49、的码组是第二码次码多项式代表的码组是第二码 组组0010111 ， 与它对应的码多项式 ， 即生成多项式 ， 为 ， 与它对应的码多项式 ， 即生成多项式 ， 为 g(x) = x4 + x2 + x + 1 。
码组编号码组编号信息位信息位监督位监督位码组编号码组编号信息位信息位监督位监督位 A6a5a4a3a2a1a0a6a5a4A3a2a1a0 1000000051001011 2001011161011100 3010111071100101 4011100181110010 69 g(x) = x4 + x2 + x + 1 即即 “1 0 1 1 1” 将此将此g(x)代入上矩阵 ， 得到代入上矩阵 ， 得到 或或 。

50、 上式不符合上式不符合G = IkQ形式 ， 所以它不是典型生成矩阵 。
但形式 ， 所以它不是典型生成矩阵 。
但 它经过线性变换后 ， 不难化成典型阵 。
它经过线性变换后 ， 不难化成典型阵 。
此循环码组的多项式表示式此循环码组的多项式表示式T(x)： 上式表明 ， 所有码多项式上式表明 ， 所有码多项式T(x)都能够被都能够被g(x)整除 ， 而且整除 ， 而且 任意一个次数不大于任意一个次数不大于(k 1)的多项式乘的多项式乘g(x)都是码多项式 。
都是码多项式 。
70 寻求码生成多项式寻求码生成多项式 因为任意一个循环码因为任意一个循环码T(x)都是都是g(x)的倍式 ， 故它可以写成的倍式 ， 故它可以写成 T(x) = h(x)。

51、g(x) 而生成多项式而生成多项式g(x)本身也是一个码组 ， 即有本身也是一个码组 ， 即有 T (x) = g(x) 由于码组由于码组T (x)是一个是一个(n k)次多项式 ， 故次多项式 ， 故xk T (x)是一个是一个n次次 多项式 。
由多项式 。
由 可知 ， 可知 ， xk T (x)在模在模(xn + 1)运算下也是一个码组 ， 所以有运算下也是一个码组 ， 所以有 上式左端分子和分母都是上式左端分子和分母都是n次多项式 ， 故相除的商式次多项式 ， 故相除的商式Q(x) = 1 。
因此 ， 上式可以写成因此 ， 上式可以写成 )() 1()(xTxxTx nk 71 将将 T(x) = h(x) g(x) 和和 T (x) = 。

52、 g(x) 代入代入 化简后 ， 得到化简后 ， 得到 上式表明 ， 生成多项式上式表明 ， 生成多项式g(x)应该是应该是(xn + 1)的一个因子 。
的一个因子 。
例：例：(x7 + 1)可以分解为可以分解为 为了求出为了求出(7, 3)循环码的生成多项式循环码的生成多项式 g(x) ， 需要从上式 ， 需要从上式 中找到一个中找到一个(n k) = 4次的因子 。
这样的因子有两个 ， 即次的因子 。
这样的因子有两个 ， 即 以上两式都可以作为生成多项式 。
以上两式都可以作为生成多项式 。
选用的生成多项式不同 ， 产生出的循环码码组也不同 。
选用的生成多项式不同 ， 产生出的循环码码组也不同 。

稿源：(未知)

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标题：惠州学院彭文娟老师通信原理课件|惠州学院彭文娟老师通信原理课件 第10章 信道编码差错控制( 八 )